[삼각함수] 삼각함수 방정식·부등식·활용 총정리

1편에서 삼각함수의 정의·그래프·변환 공식을 익혔다.
이번 2편에서는 삼각방정식·부등식, 핵심 공식인 덧셈정리, 그리고 이로부터 유도되는 2배각·반각 공식까지 다룬다.
삼각함수의 실전 활용 능력을 완성하는 편이다.

1. 삼각방정식

삼각방정식은 sin·cos·tan을 포함한 방정식이다. 단위원이나 그래프를 이용해서 풀어야 한다.

📐 삼각방정식 풀이 전략

① 방정식을 sin θ = k, cos θ = k, tan θ = k 꼴로 정리

② 특수각 값 테이블에서 기본각을 찾는다

③ 지정된 범위 내에서 단위원(또는 그래프)을 이용해 모든 해를 구한다

④ 주기를 이용해 일반해가 필요하면 + 2nπ (또는 + nπ for tan) 추가

예제 1   sin, cos 방정식 (0 ≤ θ < 2π)

(1) sin θ = √3/2    (2) cos θ = −1/2    (3) tan θ = 1

풀이

(1) sin θ = √3/2 → 기본각 π/3
sinθ > 0: 1사분면, 2사분면
θ = π/3 또는 θ = π − π/3 = 2π/3

(2) cos θ = −1/2 → 기본각 π/3
cosθ < 0: 2사분면, 3사분면
θ = π − π/3 = 2π/3 또는 θ = π + π/3 = 4π/3

(3) tan θ = 1 → 기본각 π/4
tanθ > 0: 1사분면, 3사분면
θ = π/4 또는 θ = π + π/4 = 5π/4

답: (1) π/3, 2π/3   (2) 2π/3, 4π/3   (3) π/4, 5π/4

예제 2   인수분해 이용

2sin²θ − sinθ − 1 = 0 (0 ≤ θ < 2π)을 풀어라.

💡 t = sinθ로 놓으면 이차방정식. 단, −1 ≤ sinθ ≤ 1 확인 필요.

풀이

t = sin θ로 놓으면: 2t² − t − 1 = 0
(2t + 1)(t − 1) = 0 → t = −1/2 또는 t = 1

sin θ = −1/2: 3사분면, 4사분면
θ = π + π/6 = 7π/6 또는 θ = 2π − π/6 = 11π/6

sin θ = 1: θ = π/2

→ θ = π/2, 7π/6, 11π/6

답: θ = π/2, 7π/6, 11π/6

 

2. 삼각부등식

삼각부등식은 단위원 또는 그래프를 그려서 해당하는 각도의 범위를 구간으로 나타낸다.

예제 3   sin, cos 부등식

(1) sin θ ≥ 1/2 (0 ≤ θ < 2π)    (2) cos θ < 1/2 (0 ≤ θ < 2π)

풀이

(1) sin θ = 1/2이 되는 각: θ = π/6, 5π/6
sin θ ≥ 1/2인 구간: 1사분면과 2사분면 위쪽
→ π/6 ≤ θ ≤ 5π/6

(2) cos θ = 1/2이 되는 각: θ = π/3, 5π/3
cos θ < 1/2인 구간: 2사분면, 3사분면 (코사인값이 1/2 미만)
→ π/3 < θ < 5π/3

답: (1) π/6 ≤ θ ≤ 5π/6   (2) π/3 < θ < 5π/3

 

3. 삼각함수의 덧셈정리

📐 덧셈정리 — 암기 필수!

sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ

sin(α−β) = sinα cosβ − cosα sinβ

cos(α+β) = cosα cosβ − sinα sinβ

cos(α−β) = cosα cosβ + sinα sinβ

tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 − tanα tanβ)

tan(α−β) = (tanα − tanβ) / (1 + tanα tanβ)

💡 덧셈정리 부호 기억법
sin(α±β): 앞×뒤cos ± cos×뒤sin (교차 곱) → sin끼리 cos끼리 분리되지 않음
cos(α±β): cos×cos ∓ sin×sin (같은 것끼리) → 부호는 반대!
tan(α±β): 분자는 합, 분모는 1∓곱 (부호에 주의)

예제 4   덧셈정리 계산

(1) sin 75° = sin(45° + 30°)를 계산하여라.

(2) α, β가 1사분면이고 sinα=3/5, cosβ=5/13일 때, sin(α+β)를 구하여라.

풀이

(1) sin(45°+30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)
= √6/4 + √2/4 = (√6+√2)/4

(2) 1사분면이므로 cosα > 0, sinβ > 0
cosα = √(1−9/25) = 4/5
sinβ = √(1−25/169) = 12/13

sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ
= (3/5)(5/13) + (4/5)(12/13)
= 15/65 + 48/65 = 63/65

답: (1) (√6+√2)/4   (2) 63/65

 

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4. 2배각·반각 공식

📐 2배각 공식 (덧셈정리에서 α = β로 놓으면 유도)

sin 2α = 2 sinα cosα

cos 2α = cos²α − sin²α = 1 − 2sin²α = 2cos²α − 1

tan 2α = 2tanα / (1 − tan²α)

📐 반각 공식 (cos 2배각 공식 변형)

sin²α = (1 − cos 2α) / 2

cos²α = (1 + cos 2α) / 2

💡 cos 2α의 세 가지 형태 — 상황에 따라 골라 쓴다
cos²α − sin²α: sin과 cos 모두 있을 때
1 − 2sin²α: cos 없이 sin만 남길 때
2cos²α − 1: sin 없이 cos만 남길 때

예제 5   2배각 공식 활용

sinα = 3/5 (0 < α < π/2)일 때, sin2α, cos2α, tan2α를 구하여라.

풀이

cosα = 4/5 (1사분면, cosα > 0)
tanα = sinα/cosα = 3/4

sin 2α = 2sinα cosα = 2 × (3/5) × (4/5) = 24/25
cos 2α = cos²α − sin²α = 16/25 − 9/25 = 7/25
tan 2α = 2tanα/(1−tan²α) = (3/2)/(1−9/16) = (3/2)/(7/16) = 24/7

답: sin2α=24/25, cos2α=7/25, tan2α=24/7

 

5. 삼각함수의 합성

📐 a sinθ + b cosθ의 합성

a sinθ + b cosθ = √(a²+b²) · sin(θ + φ)

단, tan φ = b/a (φ는 a sinθ의 위상 보정각)

최댓값: √(a²+b²), 최솟값: −√(a²+b²)

예제 6   삼각함수 합성

sin θ + √3 cos θ를 R sin(θ+φ) 꼴로 나타내고 최댓값을 구하여라.

풀이

R = √(1² + (√3)²) = √(1+3) = 2
tan φ = √3/1 = √3 → φ = π/3

sin θ + √3 cos θ = 2 sin(θ + π/3)

최댓값: R = 2 (sin=1일 때)

답: 2sin(θ+π/3), 최댓값 2

 

6. 종합 예제

종합 예제   2배각과 방정식 결합

sin 2θ = sinθ (0 ≤ θ < 2π)를 풀어라.

💡 sin2θ = 2sinθcosθ로 바꾼 뒤 이항해서 인수분해한다.

풀이

2sinθcosθ = sinθ
2sinθcosθ − sinθ = 0
sinθ(2cosθ − 1) = 0

sinθ = 0: θ = 0, π
cosθ = 1/2: θ = π/3, 5π/3

→ θ = 0, π/3, π, 5π/3

답: θ = 0, π/3, π, 5π/3

📌 핵심 정리

• 삼각방정식: 기본각 찾기 → 단위원으로 해당 사분면 확인 → 범위 내 모든 해
• 인수분해 방정식: t=sinθ(cosθ)로 치환 → 이차방정식 → 범위 확인
• 삼각부등식: 등호 성립점 찾기 → 그래프/단위원으로 부등호 방향 결정
• 덧셈정리 sin(α±β): sincos ± cossin (교차 곱)
• 덧셈정리 cos(α±β): coscos ∓ sinsin (부호 반대!)
• 2배각: sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos²α−sin²α=1−2sin²α=2cos²α−1
• 반각: sin²α=(1−cos2α)/2, cos²α=(1+cos2α)/2
• 합성: asinθ+bcosθ = √(a²+b²)·sin(θ+φ). 최댓값 √(a²+b²)