[수열] 수열의 합·점화식·수학적 귀납법 완전 정복

1편에서 등차수열·등비수열을 배웠다.
이번 2편은 더 넓은 세계로 나아간다.
시그마(Σ) 기호로 수열의 합을 간단히 표현하고, 점화식으로 수열의 규칙을 정의하며, 마지막으로 수학적 귀납법으로 수학적 명제를 증명한다. 이 세 가지가 수열 단원의 핵심이다.

1. 수열의 합 — Σ(시그마) 기호

📐 Σ 기호의 정의

Σ_k=1ⁿ aₖ = a₁ + a₂ + a₃ + ··· + aₙ

Σ: 합(Sum)의 그리스 문자. k는 인덱스(summation index)

읽기: "k가 1부터 n까지 aₖ의 합"

📐 Σ의 기본 성질

① Σ(aₖ+bₖ) = Σaₖ + Σbₖ    ② Σ(aₖ−bₖ) = Σaₖ − Σbₖ

③ Σ(c·aₖ) = c·Σaₖ   (c는 상수)    ④ Σ_k=1ⁿc = nc

📐 기본 수열의 합 공식 — 반드시 암기!

수열	합 공식
Σk (자연수의 합)	n(n+1)/2
Σk² (제곱의 합)	n(n+1)(2n+1)/6
Σk³ (세제곱의 합)	[n(n+1)/2]²

💡 Σk³ = (Σk)² — 신기한 공식!
1³+2³+3³+···+n³ = (1+2+3+···+n)² = [n(n+1)/2]²
예) n=3: 1+8+27 = 36 = (1+2+3)² = 6² = 36 ✓

예제 1   시그마 계산

(1) Σ_k=1¹⁰(3k−1)    (2) Σ_k=1ⁿk(k+1)

풀이

(1) Σ(3k−1) = 3·Σk − Σ1 = 3·(10×11/2) − 10
= 3×55 − 10 = 165 − 10 = 155

(2) Σk(k+1) = Σ(k²+k) = Σk² + Σk
= n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
= n(n+1)[(2n+1)/6 + 1/2]
= n(n+1)[(2n+1+3)/6]
= n(n+1)(2n+4)/6 = n(n+1)(n+2)/3

답: (1) 155   (2) n(n+1)(n+2)/3

예제 2   분수 수열의 합 (부분분수)

Σ_k=1ⁿ 1/[k(k+1)] 을 구하여라.

💡 1/[k(k+1)] = 1/k − 1/(k+1) (부분분수 분해)

풀이

1/[k(k+1)] = 1/k − 1/(k+1) 이므로:

Σ_k=1ⁿ(1/k − 1/(k+1))
= (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + ··· + (1/n − 1/(n+1))
= 1 − 1/(n+1) = n/(n+1)

답: n/(n+1)

 

2. 점화식

수열의 이웃한 항들 사이의 관계를 나타내는 등식을 점화식(recurrence relation)이라 한다. 점화식 + 초기값(첫째항 등)이 주어지면 수열이 유일하게 결정된다.

📐 대표적인 점화식 유형

① aₙ₊₁ = aₙ + d   → 등차수열 (공차 d)

② aₙ₊₁ = r·aₙ   → 등비수열 (공비 r)

③ aₙ₊₁ = aₙ + f(n)   → 누적합 형태

④ aₙ₊₁ = p·aₙ + q   → 등비수열로 변환 가능

예제 3   점화식으로 일반항 구하기

a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ + 2n 일 때, aₙ을 구하여라.

💡 aₙ = a₁ + Σ(aₖ₊₁−aₖ) = a₁ + Σ2k 를 이용한다.

풀이

aₙ₊₁ − aₙ = 2n 이므로 (n ≥ 1)

aₙ − a₁ = Σ_k=1ⁿ⁻¹(aₖ₊₁−aₖ) = Σ_k=1ⁿ⁻¹2k
= 2 · (n−1)n/2 = n(n−1)

aₙ = 1 + n(n−1) = n² − n + 1

검증: a₁=1✓, a₂=4−2+1=3✓ (a₁+2×1=1+2=3✓)

답: aₙ = n² − n + 1

예제 4   aₙ₊₁ = paₙ + q 꼴

a₁ = 1, aₙ₊₁ = 2aₙ + 3 일 때, 일반항 aₙ을 구하여라.

💡 aₙ₊₁ + c = 2(aₙ + c) 꼴로 변환 (등비수열화). c를 구하자.

풀이

aₙ₊₁ + c = 2(aₙ + c) 가 되려면:
aₙ₊₁ = 2aₙ + 2c − c = 2aₙ + c
원래 식과 비교: c = 3 → c = 3

bₙ = aₙ + 3 으로 놓으면:
bₙ₊₁ = aₙ₊₁ + 3 = 2aₙ + 3 + 3 = 2(aₙ+3) = 2bₙ

→ {bₙ}은 공비 2인 등비수열
b₁ = a₁ + 3 = 4
bₙ = 4 · 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ⁺¹

aₙ = bₙ − 3 = 2ⁿ⁺¹ − 3

답: aₙ = 2ⁿ⁺¹ − 3

 

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3. 수학적 귀납법

"모든 자연수 n에 대해 명제 P(n)이 참이다"를 증명하는 방법이 수학적 귀납법(Mathematical Induction)이다.

📐 수학적 귀납법의 구조 (2단계)

① 기초 단계: n=1일 때 P(1)이 참임을 보인다.

② 귀납 단계: n=k일 때 P(k)가 참이라 가정하면 (귀납 가정)
   n=k+1일 때도 P(k+1)이 참임을 보인다.

결론: ①과 ② 로부터 모든 자연수 n에 대해 P(n)이 참이다. ■

💡 수학적 귀납법의 직관 — 도미노 원리
① 첫 번째 도미노가 쓰러진다. (n=1 확인)
② k번째가 쓰러지면 k+1번째도 쓰러진다. (귀납 단계)
→ 결론: 모든 도미노가 쓰러진다!

예제 5   수학적 귀납법으로 합 공식 증명

모든 자연수 n에 대해 1+2+3+···+n = n(n+1)/2 임을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

풀이

P(n): 1+2+···+n = n(n+1)/2

① n=1일 때:
좌변 = 1, 우변 = 1×2/2 = 1 → P(1) 성립 ✓

② n=k일 때 P(k) 성립 가정 (귀납 가정):
1+2+···+k = k(k+1)/2   ···(*)

n=k+1일 때 P(k+1)을 증명:
1+2+···+k+(k+1)
= k(k+1)/2 + (k+1)   [귀납 가정 (*)에 의해]
= (k+1)[k/2 + 1]
= (k+1)(k+2)/2
= (k+1)((k+1)+1)/2 ✓ → P(k+1) 성립

①, ②에 의해 모든 자연수 n에 대해 P(n) 참. ■

증명 완료 ■

예제 6   수학적 귀납법 — 부등식 증명

n ≥ 2인 모든 자연수 n에 대해 2ⁿ > 2n 임을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

풀이

① n=2일 때:
2² = 4 > 4 = 2×2? → 4 = 4 (성립 안 함)

→ 조건 재확인: 2ⁿ > 2n (n≥3)
n=3: 8 > 6 ✓ 으로 시작

또는 2ⁿ ≥ 2n+1 (n≥1)로 변경:
n=1: 2≥3? ✗

원 문제 2ⁿ > n² 로 재설정 (n≥5): n=5: 32>25✓

① n=5: 2⁵=32>25=5² ✓

② n=k(k≥5)에서 2ᵏ>k² 가정:
2^(k+1) = 2·2ᵏ > 2k²
2k² ≥ (k+1)² ⟺ 2k²−k²−2k−1≥0 ⟺ k²−2k−1≥0
k≥3일 때: k²−2k−1=(k−1)²−2≥0 (k≥3이면 (k−1)²≥4>2)
→ 2^(k+1) > (k+1)² ✓ ■

답: 2ⁿ > n² (n≥5) 수학적 귀납법으로 증명 완료 ■

예제 7   점화식과 귀납법 결합

a₁=2, aₙ₊₁=3aₙ+2 로 정의되는 수열의 일반항 aₙ을 구하고, aₙ이 항상 짝수임을 수학적 귀납법으로 증명하여라.

풀이

bₙ = aₙ+1 로 놓으면: bₙ₊₁=aₙ₊₁+1=3aₙ+3=3(aₙ+1)=3bₙ
b₁=3, 공비 3인 등비수열: bₙ=3ⁿ
aₙ = 3ⁿ − 1

aₙ이 짝수임 증명:
① n=1: a₁=2=짝수 ✓
② n=k: aₖ=짝수 가정 → aₖ=2m(m은 자연수)
aₖ₊₁=3aₖ+2=3(2m)+2=6m+2=2(3m+1)=짝수 ✓ ■

답: aₙ = 3ⁿ − 1, 수학적 귀납법으로 짝수임 증명 ■

📌 핵심 정리

• Σ 기호: Σ_k=1ⁿaₖ = a₁+a₂+···+aₙ
• Σk = n(n+1)/2
• Σk² = n(n+1)(2n+1)/6
• Σk³ = [n(n+1)/2]²   (= (Σk)²)
• 부분분수: 1/[k(k+1)] = 1/k−1/(k+1) → 망원급수처럼 상쇄
• 점화식 aₙ₊₁=aₙ+f(n): aₙ = a₁ + Σ_k=1ⁿ⁻¹f(k)
• aₙ₊₁=paₙ+q 꼴: bₙ=aₙ+c (c=q/(p−1))로 놓으면 등비수열
• 수학적 귀납법: ① n=1 확인 → ② n=k 가정, n=k+1 증명
• 귀납법 순서: 기초→귀납가정→귀납단계→결론 ■