[지수함수와 로그함수] 지수·로그 완전 정복 — 정의·법칙·그래프까지

세상은 지수와 로그로 가득하다.
인구 증가, 방사성 붕괴, 소리의 크기(dB), 지진 강도(리히터)…
이 모든 현상이 지수함수와 로그함수로 설명된다.
이번 1편에서는 지수의 확장·법칙, 로그의 정의·성질, 지수함수·로그함수의 그래프와 성질까지 예제와 함께 완벽히 정리한다.

1. 지수의 확장 — 자연수에서 실수까지

처음 배운 지수 aⁿ은 a를 n번 곱하는 의미였다. 이제 지수를 0, 음의 정수, 유리수, 실수까지 확장한다.

📐 지수의 확장 (a>0, a≠1)

① 0 지수: a⁰ = 1

② 음의 정수 지수: a⁻ⁿ = 1/aⁿ   (n은 자연수)

③ 유리수 지수: a^(1/n) = ⁿ√a,   a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) = (ⁿ√a)ᵐ

④ 실수 지수: 유리수 지수를 극한으로 확장 (a^x, x는 임의 실수)

💡 왜 a⁰ = 1인가?
지수법칙 aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ에서 m = n 대입 → aⁿ/aⁿ = a⁰
aⁿ/aⁿ = 1 이므로 a⁰ = 1. 마찬가지로 a⁻ⁿ = 1/aⁿ도 법칙의 자연스러운 확장이다.

📐 지수법칙 (a>0, b>0, m·n은 실수)

① aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ    ② aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ    ③ (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

④ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ    ⑤ (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ

예제 1   지수법칙 계산

(1) 8^(2/3) ÷ 4^(1/2)    (2) 27^(−2/3)    (3) 2³ × 2⁻¹ × 2^(1/2)

풀이

(1) 8^(2/3) = (2³)^(2/3) = 2² = 4,   4^(1/2) = 2  →  4/2 = 2

(2) 27^(−2/3) = (3³)^(−2/3) = 3^(−2) = 1/9

(3) 2^(3−1+1/2) = 2^(5/2) = 4√2

답: (1) 2   (2) 1/9   (3) 4√2

예제 2   지수 변형

a = 2^x일 때, 4^x + 4^(−x)를 a로 나타내어라.

💡 4^x = (2²)^x = (2^x)² = a²

풀이

4^x = (2^x)² = a²,   4^(−x) = 1/a²
4^x + 4^(−x) = a² + 1/a²

답: a² + 1/a²

 

2. 로그의 정의와 성질

📐 로그의 정의

a > 0, a ≠ 1, N > 0 일 때:

aˣ = N   ⟺   x = log_aN

log_aN: "a를 밑으로 하는 N의 로그"  |  a: 밑  |  N: 진수

⚠️ 진수 조건: N > 0 반드시 확인!

📐 로그의 기본값

log_a1 = 0  (∵ a⁰=1)    log_aa = 1  (∵ a¹=a)

a^(log_aN) = N    log_a(aᵏ) = k

📐 로그의 성질 (a>0, a≠1, M>0, N>0)

① log_a(MN) = log_aM + log_aN   (곱 → 합)

② log_a(M/N) = log_aM − log_aN   (나눗셈 → 차)

③ log_aMᵏ = k·log_aM   (지수 → 앞으로)

④ log_aM = log_bM / log_ba   (밑 변환 공식)

특수형: log_ab · log_ba = 1  |  log_ab · log_bc = log_ac

예제 3   로그 계산

(1) log₂32 − log₂4    (2) log₃4 · log₄9    (3) log₂3 + log₂(2/3)

풀이

(1) log₂(32/4) = log₂8 = log₂2³ = 3

(2) 밑변환: log₃4 · log₄9 = (log4/log3) · (log9/log4) = log9/log3 = log₃9 = 2

(3) log₂[3 · (2/3)] = log₂2 = 1

답: (1) 3   (2) 2   (3) 1

예제 4   조건부 로그 계산

log₂3 = a, log₂7 = b일 때, log₁₄√21을 a, b로 나타내어라.

💡 모든 것을 log₂로 바꾼다. 밑 변환 공식 사용.

풀이

log₁₄√21 = log₂(√21) / log₂14

log₂(√21) = (1/2)log₂(3·7) = (1/2)(a+b)
log₂14 = log₂(2·7) = 1+b

log₁₄√21 = (a+b) / [2(1+b)]

답: (a+b)/[2(1+b)]

 

3. 상용로그

밑이 10인 로그 log₁₀N을 상용로그라 하고, log N으로 밑을 생략해서 쓴다.

📐 상용로그의 구조

N = a × 10ⁿ (1 ≤ a < 10, n은 정수)으로 나타내면:

log N = n + log a

정수부분 n: 자릿수 결정 (N이 n+1자리 양의 정수 → 정수부분 = n)

소수부분 log a: 0 ≤ log a < 1 (항상 0 이상!)

⚠️ 소수부분은 항상 0 이상이다
log 0.002 = log(2×10⁻³) = log2 − 3 ≈ 0.301 − 3 = −2.699
이때 정수부분 = −3, 소수부분 = 0.301 (−2.699 = −3 + 0.301 로 분리)

예제 5   상용로그 계산

log 2 = 0.3010일 때, (1) log 200   (2) log 0.002   (3) log 2^10의 정수부분

풀이

(1) log(2×10²) = log2 + 2 = 2.3010

(2) log(2×10⁻³) = log2 − 3 = −2.699   (정수부분: −3, 소수부분: 0.301)

(3) log 2^10 = 10×0.3010 = 3.010   → 정수부분: 3

답: (1) 2.3010   (2) −2.699   (3) 3

 

반응형

 

4. 지수함수의 그래프와 성질

📐 지수함수 y = aˣ (a>0, a≠1)

정의역: 실수 전체  |  치역: (0, ∞) — 항상 양수

반드시 지나는 점: (0, 1) — 모든 지수함수의 y절편

점근선: x축 (y=0)

a > 1 (증가함수)

x↑ → y↑
x→+∞: y→+∞
x→−∞: y→0 (x축 점근)

예) y=2ˣ, y=3ˣ

0 < a < 1 (감소함수)

x↑ → y↓
x→+∞: y→0 (x축 점근)
x→−∞: y→+∞

예) y=(1/2)ˣ, y=(1/3)ˣ

💡 y=aˣ와 y=(1/a)ˣ는 y축 대칭
(1/a)ˣ = a⁻ˣ → x를 −x로 바꾼 것 → y축 대칭
예) y=2ˣ와 y=(1/2)ˣ는 y축에 대해 대칭

예제 6   지수함수 그래프 분석

y = 2^(x−1) + 3의 점근선, 특별한 점, y=2ˣ과의 관계를 설명하여라.

풀이

y = 2ˣ를 x축 방향 +1, y축 방향 +3 평행이동한 것.

점근선: y = 3 (기존 y=0이 +3 이동)
x=1일 때: y = 2⁰+3 = 4 → 점 (1, 4) 통과
y절편: x=0이면 y = 2^(−1)+3 = 3.5 → 점 (0, 3.5)

답: 점근선 y=3, 점 (1,4) 통과, y=2ˣ의 평행이동

 

5. 로그함수의 그래프와 성질

📐 로그함수 y = log_ax (a>0, a≠1)

정의역: (0, ∞) — 진수는 반드시 양수  |  치역: 실수 전체

반드시 지나는 점: (1, 0) — 모든 로그함수의 x절편

점근선: y축 (x=0)

y=aˣ와 y=log_ax는 y=x에 대한 역함수 관계!

a > 1 (증가함수)

x↑ → y↑
0<x<1: y<0 (음수)
x=1: y=0
x>1: y>0 (양수)

0 < a < 1 (감소함수)

x↑ → y↓
0<x<1: y>0 (양수)
x=1: y=0
x>1: y<0 (음수)

예제 7   로그함수 그래프 분석

y = log₂(x−2) + 1의 정의역, 점근선, 지나는 점을 구하여라.

풀이

진수 조건: x−2 > 0 → 정의역: x > 2
점근선: x = 2 (y=log₂x의 x=0이 +2 이동)

x=3: y = log₂1+1 = 1 → 점 (3, 1)
x=4: y = log₂2+1 = 2 → 점 (4, 2)

답: 정의역 x>2, 점근선 x=2, (3,1) 통과

예제 8   지수함수와 로그함수의 대칭

y = 2ˣ의 그래프를 y = x에 대해 대칭이동한 곡선의 방정식을 구하고, 이 곡선이 지나는 점 (4, k)에서 k를 구하여라.

풀이

y=2ˣ의 역함수: x와 y를 바꾸면 x=2ʸ → y=log₂x

y = log₂x에 x=4 대입:
y = log₂4 = log₂2² = 2 → k = 2

답: y=log₂x, k=2

📌 핵심 정리

• 지수 확장: a⁰=1, a⁻ⁿ=1/aⁿ, a^(m/n)=ⁿ√(aᵐ)
• 지수법칙: 곱→지수합, 나눗셈→지수차, 거듭제곱→지수곱
• 로그 정의: aˣ=N ⟺ x=log_aN (진수 N>0 필수!)
• log(MN)=logM+logN, log(M/N)=logM−logN, logMᵏ=k·logM
• 밑 변환: log_aM = log_bM / log_ba
• 상용로그: logN=n+loga. 정수부분=n, 소수부분=loga(0이상)
• y=aˣ: (0,1) 통과, x축 점근선, a>1 증가, 0<a<1 감소
• y=log_ax: (1,0) 통과, y축 점근선, y=aˣ의 역함수
• y=x에 대해 대칭: y=aˣ ↔ y=log_ax

▶ 2편에서는 지수·로그 방정식과 부등식을 다룬다.