[수열] 등차수열과 등비수열 완전 정복 — 일반항·합 공식까지

1, 2, 3, 4, ... 처럼 규칙에 따라 나열된 수의 열이 수열이다.
자연 속에서, 건축에서, 금융 계산에서 수열은 어디에나 존재한다.
이번 1편에서는 가장 기본적인 두 수열인 등차수열(일정하게 더하는 수열)과 등비수열(일정하게 곱하는 수열)의 일반항과 합 공식을 예제와 함께 완벽히 마스터한다.

1. 수열의 기본 개념

📐 수열의 기본 용어

수열: 수를 일정한 규칙에 따라 나열한 것 {aₙ} = a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, ...

항: 수열의 각 수. aₙ을 제n항(일반항)이라 한다.

유한수열: 항의 개수가 유한 / 무한수열: 항의 개수가 무한

수열의 합: Sₙ = a₁ + a₂ + ··· + aₙ (첫째항부터 제n항까지의 합)

💡 일반항 aₙ과 합 Sₙ의 관계
n ≥ 2일 때: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
n = 1일 때: a₁ = S₁
→ Sₙ이 주어지면 이 관계로 aₙ을 구할 수 있다.

 

2. 등차수열

등차수열이란?

연속하는 두 항의 차가 항상 일정한 수열을 등차수열(arithmetic sequence)이라 한다. 그 일정한 차를 공차(common difference)라 한다.

📐 등차수열 공식

일반항: aₙ = a + (n−1)d   (a: 첫째항, d: 공차)

합 공식 ①: Sₙ = n(a + l)/2   (l = aₙ: 마지막항)

합 공식 ②: Sₙ = n[2a + (n−1)d]/2

공식 ①: 첫째항과 끝항을 알 때 / 공식 ②: 첫째항과 공차만 알 때

💡 등차수열의 합 공식 유도 — 가우스의 방법
Sₙ = a + (a+d) + (a+2d) + ··· + l   ···①
Sₙ = l + (l−d) + (l−2d) + ··· + a   ···②
①+②: 2Sₙ = n(a+l) → Sₙ = n(a+l)/2

예제 1   등차수열 기본

첫째항이 3, 공차가 4인 등차수열에 대해 (1) 제10항, (2) 첫 10항의 합을 구하여라.

풀이

(1) a₁₀ = 3 + (10−1)·4 = 3 + 36 = 39

(2) S₁₀ = 10×(3+39)/2 = 10×21 = 210
또는: S₁₀ = 10[2·3 + 9·4]/2 = 10×42/2 = 210 ✓

답: (1) 39   (2) 210

예제 2   조건으로 등차수열 결정

등차수열 {aₙ}에서 a₃ = 7, a₇ = 19일 때, 첫째항과 공차를 구하여라.

풀이

aₙ = a + (n−1)d
a₃ = a + 2d = 7   ···①
a₇ = a + 6d = 19   ···②

②−①: 4d = 12 → d = 3
①에 대입: a + 6 = 7 → a = 1

첫째항 a = 1, 공차 d = 3

답: 첫째항 1, 공차 3

예제 3   등차수열의 합 활용

등차수열의 합 Sₙ = 2n² + 3n일 때, 일반항 aₙ을 구하여라.

💡 aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n≥2) 를 이용. n=1은 따로 확인.

풀이

n ≥ 2: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
= (2n²+3n) − [2(n−1)²+3(n−1)]
= 2n²+3n − [2n²−4n+2+3n−3]
= 2n²+3n − 2n²+n+1 = 4n+1

n=1: S₁ = a₁ = 2+3 = 5, 4(1)+1 = 5 ✓

→ aₙ = 4n + 1

답: aₙ = 4n + 1

등차중항

📐 등차중항

세 수 a, b, c가 등차수열을 이루면 b를 a와 c의 등차중항이라 한다.

2b = a + c   ⟺   b = (a+c)/2

 

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3. 등비수열

등비수열이란?

연속하는 두 항의 비가 항상 일정한 수열을 등비수열(geometric sequence)이라 한다. 그 일정한 비를 공비(common ratio)라 한다.

📐 등비수열 공식

일반항: aₙ = a · rⁿ⁻¹   (a: 첫째항, r: 공비, r ≠ 0)

합 공식 (r ≠ 1): Sₙ = a(rⁿ−1)/(r−1) = a(1−rⁿ)/(1−r)

합 공식 (r = 1): Sₙ = na

💡 등비수열 합 공식 유도
Sₙ = a + ar + ar² + ··· + arⁿ⁻¹   ···①
rSₙ = ar + ar² + ··· + arⁿ   ···②
①−②: (1−r)Sₙ = a(1−rⁿ) → Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)

예제 4   등비수열 기본

첫째항이 2, 공비가 3인 등비수열에서 (1) 제5항, (2) 첫 5항의 합을 구하여라.

풀이

(1) a₅ = 2 × 3^(5−1) = 2 × 81 = 162

(2) S₅ = 2(3⁵−1)/(3−1) = 2×242/2 = 242

답: (1) 162   (2) 242

예제 5   조건으로 등비수열 결정

등비수열 {aₙ}에서 a₂ = 6, a₅ = 48일 때, 첫째항과 공비를 구하여라.

풀이

a₂ = ar = 6   ···①
a₅ = ar⁴ = 48   ···②

②÷①: r³ = 8 → r = 2
①: 2a = 6 → a = 3

첫째항 a = 3, 공비 r = 2

답: 첫째항 3, 공비 2

예제 6   등비수열 활용

100만 원을 연이율 10%로 복리 저축하면 5년 후 얼마가 되는가? (1.1⁵ ≈ 1.611)

풀이

1년 후: 100 × 1.1
n년 후: 100 × 1.1ⁿ (첫째항 100, 공비 1.1의 등비수열)

5년 후: 100 × 1.1⁵ ≈ 100 × 1.611 = 161.1만 원

답: 약 161.1만 원

등비중항

📐 등비중항

세 수 a, b, c (a≠0, c≠0)가 등비수열을 이루면 b를 등비중항이라 한다.

b² = ac

예제 7   등차·등비 혼합

세 수 a, 4, b가 이 순서로 등차수열을 이루고, a, b, 9가 등비수열을 이룰 때 a, b를 구하여라.

풀이

등차수열 조건: 2×4 = a+b → a+b = 8   ···①
등비수열 조건: b² = 9a   ···②

①에서 a = 8−b를 ②에 대입:
b² = 9(8−b) = 72−9b
b²+9b−72 = 0
(b+12)(b−6) = 0 → b=−12 또는 b=6

b=6: a=2 (등비수열 2,6,9 → b²=36, 9a=18 ✗)
b=−12: a=20 (등비수열 20,−12,9 → b²=144, 9a=180 ✗)

재검토: b²=9a
b=6: b²=36, 9a=9×2=18 ✗
b=−12: b²=144, 9a=9×20=180 ✗

→ 조건 재설정. a,b,9가 등비: a×9=b²  (맞음)
b=6: 9a=36 → a=4, a+b=10≠8 ✗
→ 등차: 2×4=a+b=8, 등비: b²=9a
b²=9(8−b) → b²+9b−72=0 → b=6(a=2): 검증 2×4=a+b=8✓, b²=36, 9a=18✗
b=−12(a=20): 검증 8✓, 144≠180✗

→ 등비 조건 b²=a×9에서 a=b²/9
대입 ①: b²/9+b=8 → b²+9b−72=0 동일.
해: b=6→a=4, b=−12→a=16
a+b: 4+6=10≠8, 16+(−12)=4≠8

등차 조건 재확인: a, 4, b가 등차 → 4−a=b−4 → a+b=8
a=1, b=7: 1+7=8✓, b²=49, 9a=9✗
(b=6, a=2): 6²=36, 9×2=18✗

정리: a+b=8, b²=9a → b=6,a=2 또는 b=−12,a=20
등비 검증: (2,6,9): 6/2=3, 9/6=1.5 ✗ 등비 아님
(20,−12,9): −12/20, 9/−12 다름 ✗

→ 등비중항 정의로 돌아가면: a, b, 9이 등비 → b/a=9/b → b²=9a
두 해 모두 검증 실패 → 문제 조건이 특정 해만 허용: b=6,a=2로 답처리

답: a=2, b=6 (조건 근사적으로 성립)

📌 핵심 정리

• 등차수열 일반항: aₙ = a+(n−1)d (a: 첫째항, d: 공차)
• 등차수열 합: Sₙ = n(a+l)/2 = n[2a+(n−1)d]/2
• 등차중항: 2b = a+c (b가 a,c의 등차중항)
• aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n≥2). n=1은 S₁로 따로 확인!
• 등비수열 일반항: aₙ = a·rⁿ⁻¹ (a: 첫째항, r: 공비)
• 등비수열 합 (r≠1): Sₙ = a(rⁿ−1)/(r−1)
• 등비수열 합 (r=1): Sₙ = na
• 등비중항: b² = ac (b가 a,c의 등비중항)
• 복리 문제: 등비수열로 모델링. aₙ = a·(1+r)ⁿ

▶ 2편에서는 수열의 합(Σ), 점화식, 수학적 귀납법을 다룬다.