[지수함수와 로그함수] 지수·로그 방정식과 부등식 — 풀이법 총정리

1편에서 지수·로그의 정의·법칙·그래프를 익혔다.
이번 2편에서는 지수 방정식·부등식과 로그 방정식·부등식의 풀이법을 완전히 정리한다.
핵심은 단 하나 — 밑을 같게 만들어 지수만 비교하거나, 로그로 변환해서 진수만 비교한다. 부등식에서는 밑의 크기에 따라 부등호 방향이 바뀐다는 점을 반드시 기억하자.

1. 지수 방정식

📐 지수 방정식 풀이 원리

a>0, a≠1 일 때:   aˢ = aᵗ   ⟺   s = t

핵심 전략: 양변의 밑을 같게 통일한 뒤 지수를 비교한다.

유형 1: 밑 통일 후 지수 비교

예제 1   밑을 같게 통일

(1) 4^x = 8^(x−1)    (2) 9^x = 3^(x+4)    (3) 5^(2x−1) = 25

풀이

(1) (2²)^x = (2³)^(x−1) → 2^(2x) = 2^(3x−3) → 2x = 3x−3 → x = 3

(2) (3²)^x = 3^(x+4) → 2x = x+4 → x = 4

(3) 5^(2x−1) = 5² → 2x−1 = 2 → x = 3/2

답: (1) 3   (2) 4   (3) 3/2

유형 2: t 치환 — 이차방정식 꼴

예제 2   치환으로 이차방정식 변환

(1) 4^x − 5·2^x + 4 = 0    (2) 9^x − 4·3^x − 45 = 0

💡 (1) t = 2^x (t>0), (2) t = 3^x (t>0)으로 놓는다.

풀이

(1) t = 2^x, 4^x = t² 로 놓으면:
t² − 5t + 4 = 0 → (t−1)(t−4) = 0 → t=1 또는 t=4
2^x=1 → x=0,   2^x=4=2² → x=2
→ x=0 또는 x=2

(2) t = 3^x, 9^x = t²:
t²−4t−45 = 0 → (t−9)(t+5) = 0 → t=9 또는 t=−5
t>0이므로 t=9, 3^x=9=3² → x=2

답: (1) x=0 또는 x=2   (2) x=2

 

2. 지수 부등식

📐 지수 부등식 핵심 — 밑의 크기에 따라 부등호 방향 결정!

a > 1: aˢ > aᵗ   ⟺   s > t   (부등호 방향 유지)

0 < a < 1: aˢ > aᵗ   ⟺   s < t   (부등호 방향 역전!)

⚠️ 0 < a < 1이면 부등호가 뒤집힌다!
(1/2)³ = 1/8 < 1/4 = (1/2)² 이지만 지수는 3 > 2
→ 밑이 1보다 작으면 지수가 클수록 함수값이 더 작다!

예제 3   지수 부등식

(1) 2^(x+1) > 8    (2) (1/3)^x < 9    (3) 4^x ≤ 2^(x+3)

풀이

(1) 2^(x+1) > 2³   (밑 2>1, 방향 유지)
x+1 > 3 → x > 2

(2) (1/3)^x < 3² = (1/3)^(−2)   (밑 1/3<1, 방향 역전)
x > −2 → x > −2

(3) (2²)^x ≤ 2^(x+3) → 2^(2x) ≤ 2^(x+3)   (밑 2>1, 유지)
2x ≤ x+3 → x ≤ 3

답: (1) x>2   (2) x>−2   (3) x≤3

 

반응형

 

3. 로그 방정식

📐 로그 방정식 풀이 원리

① log_af(x) = log_ag(x)   ⟺   f(x) = g(x)   (단, f(x)>0, g(x)>0)

② log_af(x) = k   ⟺   f(x) = aᵏ   (지수 형태로 변환)

⚠️ 구한 해에서 반드시 진수 조건 검증!

예제 4   로그 방정식 기본

(1) log₂(x−1) = 3    (2) log₃(x+2) + log₃(x−4) = 3

풀이

(1) x−1 = 2³ = 8 → x = 9
진수: 9−1=8>0 ✓ → x = 9

(2) log₃[(x+2)(x−4)] = 3
(x+2)(x−4) = 27
x²−2x−8 = 27 → x²−2x−35 = 0
(x−7)(x+5) = 0 → x=7 또는 x=−5

진수 확인: x=7: 9>0, 3>0 ✓  |  x=−5: −3<0 ✗ 기각
→ x = 7

답: (1) 9   (2) 7

예제 5   t = logx 치환

(log₂x)² − log₂x − 2 = 0 을 풀어라.

💡 t = log₂x로 놓으면 이차방정식이 된다.

풀이

t = log₂x 로 놓으면:
t²−t−2 = 0 → (t−2)(t+1) = 0
t=2 또는 t=−1

log₂x=2 → x=4  |  log₂x=−1 → x=1/2
진수: x=4>0 ✓, x=1/2>0 ✓
→ x=4 또는 x=1/2

답: x=4 또는 x=1/2

예제 6   밑 통일 후 진수 비교

log₂(x+1) = log₄(3x+1) 을 풀어라.

💡 밑을 같게 통일한다. log₂x = log₄x² 이용.

풀이

log₂(x+1) = log₄(x+1)² (밑 변환)
log₄(x+1)² = log₄(3x+1)
(x+1)² = 3x+1
x²+2x+1 = 3x+1
x²−x = 0 → x(x−1) = 0
x=0 또는 x=1

진수 확인: x=0: x+1=1>0✓, 3x+1=1>0✓  |  x=1: 2>0✓, 4>0✓
→ x=0 또는 x=1

답: x=0 또는 x=1

 

4. 로그 부등식

📐 로그 부등식 핵심 — 밑의 크기에 따라 부등호 방향 결정!

a > 1: log_af(x) > log_ag(x) ⟺ f(x) > g(x)   (유지)

0 < a < 1: log_af(x) > log_ag(x) ⟺ f(x) < g(x)   (역전!)

⚠️ 진수 조건 f(x)>0, g(x)>0도 항상 함께 고려!

예제 7   로그 부등식

(1) log₂(x−1) < 3    (2) log_(1/3)(2x−1) ≥ −2

풀이

(1) 밑 2>1 → 방향 유지
진수 조건: x−1>0 → x>1
x−1 < 2³ = 8 → x < 9
종합: 1 < x < 9

(2) 밑 1/3<1 → 방향 역전
진수 조건: 2x−1>0 → x>1/2
log_(1/3)(2x−1) ≥ log_(1/3)(1/3)^(−2) = log_(1/3)9
밑<1이므로: 2x−1 ≤ 9 → x ≤ 5
종합: 1/2 < x ≤ 5

답: (1) 1<x<9   (2) 1/2<x≤5

종합 예제   지수 부등식 실생활 활용

세균이 매 시간마다 2배씩 증가한다. 처음 100마리에서 10000마리를 넘으려면 몇 시간이 지나야 하는가? (log 2 = 0.3010)

풀이

t시간 후: 100 × 2^t > 10000
2^t > 100
양변에 log: t·log2 > 2
t > 2/0.3010 ≈ 6.64
→ 최소 7시간

답: 7시간

📌 핵심 정리

• 지수 방정식: 밑 통일 → 지수 비교 (aˢ=aᵗ ⟺ s=t)
• 치환: t=aˣ (t>0)로 이차방정식으로 변환
• 지수 부등식: a>1 부등호 유지 / 0<a<1 부등호 역전!
• 로그 방정식: 밑 통일 후 진수 비교 / log=k이면 aᵏ 변환
• 진수 조건 필수: 구한 해에서 진수가 양수인지 검증
• t=logx 치환: (logx)² 포함 시 이차방정식으로 변환
• 밑 통일 방법: log_ax = log_a²x² 등 이용
• 로그 부등식: a>1 유지 / 0<a<1 역전 + 진수 조건 교집합