[적분] 정적분 완전 정복 — 정의·성질·계산·넓이·속도·거리

1편에서 부정적분을 배웠다.
이번 2편은 정적분이다. "구간 [a, b]에서 f(x)를 적분한 값"이 정적분이며, 기하학적으로는 곡선 아래의 넓이를 의미한다.
정적분의 정의·성질·계산법과 함께 넓이 · 속도 · 거리라는 실전 활용까지 한 번에 정리한다.

1. 정적분이란? — 구분구적법과 극한

직관: 곡선 아래의 넓이를 구하는 방법

곡선 y = f(x)와 x축 사이의 넓이를 어떻게 구할까? 곡선은 직사각형이 아니므로 공식이 없다. 하지만 구간을 아주 잘게 나눠서 직사각형 넓이를 합산하면 실제 넓이에 한없이 가까워진다. 이것이 구분구적법이고, 그 극한이 바로 정적분이다.

📐 정적분의 정의

함수 f(x)가 구간 [a, b]에서 연속일 때, 정적분을 다음과 같이 정의한다.

∫_a^b f(x)dx = lim_n→∞ Σ_k=1ⁿ f(xₖ)·Δx

a: 아래 끝(하한)  |  b: 위 끝(상한)  |  f(x): 피적분함수

특별한 경우:

∫_a^af(x)dx = 0  |  ∫_b^af(x)dx = −∫_a^bf(x)dx

 

2. 미적분학의 기본 정리 — 정적분 계산의 핵심

구분구적법의 극한으로 직접 계산하면 너무 복잡하다. 미적분학의 기본 정리는 부정적분을 이용해서 정적분을 쉽게 계산할 수 있게 해준다.

📐 미적분학의 기본 정리 (Newton-Leibniz 공식)

F'(x) = f(x)이면 (F가 f의 원시함수이면):

∫_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) − F(a)

원시함수에 위 끝을 대입한 값 − 아래 끝을 대입한 값

※ 적분상수 C는 F(b)−F(a)에서 상쇄되므로 정적분에서는 쓰지 않는다!

💡 이 정리가 얼마나 위대한가?
구분구적법으로 lim_n→∞ Σ를 계산하는 것은 매우 복잡하다.
기본 정리 덕분에 원시함수만 알면 F(b)−F(a)로 끝!
부정적분(1편)을 잘 배워야 정적분 계산이 가능한 이유다.

예제 1   기본 정리로 정적분 계산

다음 정적분을 구하여라.

(1) ∫₁³(2x+1)dx    (2) ∫₀²(x²−x)dx

풀이

(1) F(x) = x²+x 로 놓으면
[x²+x]₁³ = (9+3)−(1+1) = 12−2 = 10

(2) F(x) = x³/3 − x²/2 로 놓으면
[x³/3 − x²/2]₀² = (8/3 − 2) − 0 = 8/3 − 6/3 = 2/3

답: (1) 10   (2) 2/3

 

3. 정적분의 성질

📐 정적분의 기본 성질

① ∫_a^b[f(x)±g(x)]dx = ∫_a^bf(x)dx ± ∫_a^bg(x)dx

② ∫_a^bk·f(x)dx = k·∫_a^bf(x)dx

③ ∫_a^bf(x)dx + ∫_b^cf(x)dx = ∫_a^cf(x)dx   (구간 분할·합체)

④ ∫_a^af(x)dx = 0  |  ⑤ ∫_b^af(x)dx = −∫_a^bf(x)dx

예제 2   정적분 성질 활용

∫₀²f(x)dx = 5, ∫₂⁴f(x)dx = 3 일 때,
∫₀⁴[2f(x)+3]dx 를 구하여라.

풀이

∫₀⁴[2f(x)+3]dx
= 2∫₀⁴f(x)dx + ∫₀⁴3dx
= 2[∫₀²f(x)dx + ∫₂⁴f(x)dx] + [3x]₀⁴
= 2(5+3) + 12 = 16+12 = 28

답: 28

정적분과 부정적분의 관계

📐 정적분을 포함한 등식에서 f(x) 구하기

∫_a^xf(t)dt = g(x) 꼴 → 양변을 x로 미분하면 f(x) = g'(x)

∫_a^xf(t)dt = g(x)+C 꼴에서 x=a 대입 → g(a)+C = 0으로 C 결정

예제 3   정적분 포함 등식

∫₁^xf(t)dt = x² − 3x + 2 일 때, f(x)와 f(1)을 구하여라.

풀이

양변을 x로 미분:
f(x) = 2x − 3

f(1) = 2−3 = −1

검증: x=1 대입 시 ∫₁¹f(t)dt = 0 = 1−3+2 ✓

답: f(x) = 2x−3, f(1) = −1

 

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4. 정적분과 넓이

정적분 값과 넓이의 관계

f(x) ≥ 0인 구간에서 정적분은 곡선 아래 넓이다. 그런데 f(x) < 0인 구간에서 정적분은 음수가 된다. 실제 넓이를 구할 때는 절댓값을 취해야 한다.

📐 곡선과 x축 사이의 넓이

① f(x) ≥ 0: 넓이 = ∫_a^bf(x)dx

② f(x) ≤ 0: 넓이 = −∫_a^bf(x)dx = ∫_a^b|f(x)|dx

③ 부호가 바뀌면: 부호가 바뀌는 점에서 구간을 나눠서 각각 계산

넓이 = ∫_a^b |f(x)| dx

예제 4   곡선과 x축 사이 넓이

y = x² − 2x 와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

💡 먼저 x절편을 구해 구간을 파악하고, 구간 내에서 함수의 부호를 확인한다.

풀이

x² − 2x = x(x−2) = 0 → x = 0 또는 x = 2
0 < x < 2에서 x(x−2) < 0 (음수)

넓이 S = −∫₀²(x²−2x)dx = ∫₀²(2x−x²)dx
= [x² − x³/3]₀²
= (4 − 8/3) − 0 = 12/3 − 8/3 = 4/3

답: 4/3

📐 두 곡선 사이의 넓이

두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=a, x=b에서 만날 때 (a<b):

S = ∫_a^b |f(x)−g(x)| dx

f(x) ≥ g(x)이면: S = ∫_a^b[f(x)−g(x)]dx   (위 − 아래)

예제 5   두 곡선 사이의 넓이

y = x² 와 y = x + 2 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

풀이

교점: x² = x+2 → x²−x−2=0 → (x+1)(x−2)=0
x = −1 또는 x = 2

−1 ≤ x ≤ 2에서 x+2 ≥ x² (직선이 위)

S = ∫₋₁²[(x+2)−x²]dx = ∫₋₁²(−x²+x+2)dx
= [−x³/3 + x²/2 + 2x]₋₁²
= (−8/3 + 2 + 4) − (1/3 + 1/2 − 2)
= (−8/3 + 6) − (2/6 + 3/6 − 12/6)
= 10/3 − (−7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2

답: 9/2

 

5. 속도와 거리 — 정적분의 물리적 활용

📐 정적분과 속도·거리

위치 x(t), 속도 v(t) = x'(t)

위치 변화량(변위): ∫_t₁^t₂v(t)dt = x(t₂) − x(t₁)

실제 이동 거리: ∫_t₁^t₂|v(t)|dt

변위 ≠ 거리! 방향이 바뀌면 변위는 상쇄, 거리는 누적된다.

예제 6   속도·변위·거리

수직선 위를 움직이는 점 P의 속도가 v(t) = 3t² − 6t 일 때,
t = 0에서 t = 3까지의 (1) 변위와 (2) 이동 거리를 구하여라.

💡 v(t) = 3t(t−2) → t=2에서 부호 변환. 거리는 구간 나눠서 계산.

풀이

(1) 변위 = ∫₀³(3t²−6t)dt = [t³−3t²]₀³
= (27−27) − 0 = 0
(출발점으로 돌아왔다!)

(2) v(t) = 3t(t−2)
0 < t < 2: v < 0 (음방향) / 2 < t < 3: v > 0 (양방향)

거리 = ∫₀²|v|dt + ∫₂³|v|dt
= −∫₀²(3t²−6t)dt + ∫₂³(3t²−6t)dt
= −[t³−3t²]₀² + [t³−3t²]₂³
= −(8−12) + (27−27)−(8−12)
= −(−4) + 0−(−4) = 4 + 4 = 8

답: (1) 변위 0   (2) 이동 거리 8

💡 변위와 거리의 차이 — 쉬운 비유
집에서 출발해 가게까지 5m 갔다가 집으로 돌아왔다.
변위 = 0m (출발점 = 도착점)
거리 = 10m (실제 움직인 거리)

수학적으로:
변위 = ∫v dt (방향 고려, 음수 상쇄됨)
거리 = ∫|v| dt (항상 양수, v=0인 점에서 구간 분리)

 

6. 구분구적법 — 정적분으로 넓이 구하기의 원리

시험에 "다음 극한값을 정적분으로 나타내어라" 또는 "다음 정적분을 극한으로 나타내어라" 형태가 나온다. 구분구적법의 기본형을 알아야 풀 수 있다.

lim_n→∞ Σ_k=1ⁿ f(a + k·Δx)·Δx = ∫_a^bf(x)dx

Δx = (b−a)/n  |  xₖ = a + k·Δx
핵심: Σ를 ∫로, Δx를 dx로, xₖ을 x로 바꾸면 정적분

예제 7   극한값을 정적분으로

lim_n→∞ Σ_k=1ⁿ (k/n)² · (1/n) 을 정적분으로 나타내고 계산하여라.

💡 Δx = 1/n, xₖ = k/n → a=0, b=1, f(x)=x²로 인식

풀이

(k/n)² · (1/n) = f(k/n)·Δx 형태
a=0, b=1, f(x)=x², Δx=1/n

= ∫₀¹x²dx = [x³/3]₀¹ = 1/3

답: 1/3

종합 예제   넓이 조건으로 미지수 결정

곡선 y = x² − ax 와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 9/2일 때, 양수 a의 값을 구하여라.

풀이

x² − ax = x(x−a) = 0 → x = 0 또는 x = a
a > 0이므로 0 ≤ x ≤ a에서 x(x−a) ≤ 0

넓이 S = −∫₀^a(x²−ax)dx
= ∫₀^a(ax−x²)dx
= [ax²/2 − x³/3]₀^a
= a³/2 − a³/3 = a³(3−2)/6 = a³/6

a³/6 = 9/2
a³ = 27
a = 3

답: a = 3

📌 핵심 정리

• 정적분: 구분구적법의 극한 = 곡선 아래의 (부호 있는) 넓이
• 기본 정리: ∫_a^bf(x)dx = F(b)−F(a) (F'=f). C 불필요!
• 구간 분할: ∫_a^b + ∫_b^c = ∫_a^c
• ∫_a^a=0, ∫_b^a=−∫_a^b
• 정적분 등식 미분: ∫_a^xf(t)dt = g(x) → 양변 미분 → f(x)=g'(x)
• x축과 넓이: S = ∫|f(x)|dx. f<0 구간은 구간 분리 후 절댓값
• 두 곡선 사이 넓이: S = ∫_a^b|f(x)−g(x)|dx = ∫(위−아래)
• 변위: ∫_t₁^t₂v(t)dt (방향 상쇄 있음)
• 이동 거리: ∫_t₁^t₂|v(t)|dt (v=0인 점에서 구간 분리)
• 구분구적법 → 정적분: Σf(k/n)·(1/n) = ∫₀¹f(x)dx

▶ 1편(부정적분) → 2편(정적분) 순서로 읽으면 미적분Ⅰ 적분 단원 전체가 완성된다.