[미분] 미분계수와 도함수 완전 정복 — 정의부터 기본 공식까지

함수의 극한을 배웠다면, 이제 그것을 활용할 차례다.
미분은 "함수가 얼마나 빠르게 변하는가"를 수학으로 표현한 도구다.
순간속도, 접선의 기울기, 최솟값·최댓값 — 이 모든 것이 미분 하나로 풀린다.
이번 1편에서는 미분의 출발점인 평균변화율 → 미분계수 → 도함수의 흐름과 다항함수의 기본 미분 공식을 예제로 완전히 익힌다.

1. 평균변화율 — 미분의 출발점

변화율이란?

자동차가 1시간 동안 100km를 달렸다면 평균 속도는 100km/h다. 이것이 바로 평균변화율의 개념이다. x가 변할 때 y가 얼마나 변하는지, 그 비율을 구하는 것이다.

📐 평균변화율의 정의

함수 y = f(x)에서 x의 값이 a에서 b까지 변할 때,

평균변화율 = Δy / Δx = [f(b) − f(a)] / (b − a)

Δx = b − a: x의 변화량  |  Δy = f(b) − f(a): y의 변화량

기하학적 의미: 두 점 (a, f(a))와 (b, f(b))를 지나는 할선의 기울기

 

예제 1   평균변화율 계산

f(x) = x² − 3x + 2 에서 x = 1부터 x = 4까지의 평균변화율을 구하여라.

풀이

f(1) = 1 − 3 + 2 = 0
f(4) = 16 − 12 + 2 = 6

평균변화율 = [f(4) − f(1)] / (4 − 1) = (6 − 0) / 3 = 2

답: 2

💡 x = a에서 x = a+h까지의 평균변화율
b = a + h 로 놓으면:
평균변화율 = [f(a+h) − f(a)] / [(a+h) − a] = [f(a+h) − f(a)] / h
→ 이 표현이 미분계수의 정의로 자연스럽게 이어진다.

 

2. 미분계수 — 순간변화율

평균변화율은 구간 [a, b]의 변화를 한 수로 나타낸 것이다. 그렇다면 x = a에서의 순간적인 변화율은 어떻게 구할까? Δx = b − a를 0에 한없이 가깝게 만들면 된다. 이것이 미분계수다.

📐 미분계수의 정의

f'(a) = lim_h→0 [f(a+h) − f(a)] / h = lim_x→a [f(x) − f(a)] / (x − a)

기하학적 의미: 곡선 y = f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기

물리적 의미: x = a에서의 순간변화율

두 정의식 모두 같은 값을 나타낸다. h = x − a 로 치환하면 두 식이 동치임을 알 수 있다.

예제 2   미분계수 정의로 계산

f(x) = x² + 2x 일 때, 미분의 정의를 이용하여 f'(3)을 구하여라.

💡 f'(3) = lim_h→0 [f(3+h) − f(3)] / h

풀이

f(3) = 9 + 6 = 15
f(3+h) = (3+h)² + 2(3+h) = 9 + 6h + h² + 6 + 2h = h² + 8h + 15

f'(3) = lim_h→0 [(h² + 8h + 15) − 15] / h
= lim_h→0 (h² + 8h) / h
= lim_h→0 h(h + 8) / h
= lim_h→0 (h + 8) = 8

답: 8

예제 3   극한 → 미분계수로 변환

다음 극한값을 f'(a) 꼴로 인식하여 구하여라.

(1) lim_h→0 [(2+h)³ − 8] / h    (2) lim_x→1 (x⁴ − 1) / (x − 1)

💡 (1): f(x)=x³, a=2 / (2): f(x)=x⁴, a=1 꼴로 인식

풀이

(1) [f(2+h) − f(2)] / h 꼴. f(x) = x³, a = 2
= f'(2) = (x³)' at x=2 = 3x² |_x=2 = 3·4 = 12

(2) [f(x) − f(1)] / (x − 1) 꼴. f(x) = x⁴, a = 1
= f'(1) = (x⁴)' at x=1 = 4x³ |_x=1 = 4·1 = 4

답: (1) 12   (2) 4

미분가능과 연속의 관계

📐 미분가능과 연속

f'(a)가 존재하면 f(x)는 x = a에서 미분가능하다고 한다.

미분가능 → 연속 (미분가능이면 반드시 연속)

연속이어도 미분불가능 가능 (역은 성립 안 함!)

⚠️ 연속이지만 미분불가능한 대표 사례 — y = |x|
y = |x|는 x = 0에서 연속이지만 (f(0) = 0, 극한값 = 0)
좌미분 = lim_h→0⁻ (|h| − 0)/h = lim h/h·(−1) = −1
우미분 = lim_h→0⁺ |h|/h = lim h/h = 1
좌미분 ≠ 우미분 → 미분불가능! (꺾인 점)

 

3. 도함수 — 모든 점에서의 미분계수

미분계수 f'(a)는 특정 점 a에서의 기울기 값 하나다. 도함수 f'(x)는 x를 변수로 두고, 모든 점에서의 미분계수를 하나의 함수로 표현한 것이다.

📐 도함수의 정의

f'(x) = lim_h→0 [f(x+h) − f(x)] / h

도함수의 다양한 표기법: f'(x) = y' = dy/dx = d/dx [f(x)]

f'(a)를 구하는 두 가지 방법:
방법 1: 정의로 직접 계산  |  방법 2: 도함수 f'(x)를 먼저 구한 뒤 x = a 대입 (더 빠름!)

예제 4   정의로 도함수 구하기

f(x) = x³ − 2x 의 도함수를 정의를 이용하여 구하여라.

풀이

f(x+h) = (x+h)³ − 2(x+h)
= x³ + 3x²h + 3xh² + h³ − 2x − 2h

f(x+h) − f(x) = 3x²h + 3xh² + h³ − 2h = h(3x² + 3xh + h² − 2)

f'(x) = lim_h→0 h(3x² + 3xh + h² − 2) / h
= lim_h→0 (3x² + 3xh + h² − 2)
= 3x² − 2

답: f'(x) = 3x² − 2

 

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4. 기본 미분 공식 — 다항함수 미분의 전부

📐 다항함수 미분 공식 (암기 필수)

함수	도함수	예시
c (상수)	0	(5)' = 0
xⁿ (n은 양의 정수)	nxⁿ⁻¹	(x⁴)' = 4x³
c·f(x) (상수배)	c·f'(x)	(3x²)' = 6x
f(x) ± g(x)	f'(x) ± g'(x)	(x³+x)' = 3x²+1

💡 xⁿ 미분 공식 기억법 — "지수 내려서 앞에, 지수에서 1 빼기"
x⁵ → 5x⁴  |  x³ → 3x²  |  x → 1  |  x⁰ = 1 → 0
이 패턴만 기억하면 모든 다항함수 미분이 가능하다.

예제 5   기본 공식으로 미분

다음 함수를 미분하여라.

(1) f(x) = 3x⁴ − 5x² + 2x − 7    (2) f(x) = (x+1)(x²−x+1)

풀이

(1) f'(x) = 3·4x³ − 5·2x + 2·1 − 0
= 12x³ − 10x + 2

(2) 먼저 전개: (x+1)(x²−x+1) = x³ + 1 (합의 공식!)
f'(x) = (x³+1)' = 3x²

답: (1) 12x³−10x+2   (2) 3x²

 

5. 곱의 미분법과 몫의 미분법

📐 곱의 미분법 (Product Rule)

{f(x)g(x)}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

기억법: "앞 미분 × 뒤 + 앞 × 뒤 미분"

📐 몫의 미분법 (Quotient Rule)

{f(x)/g(x)}' = [f'(x)g(x) − f(x)g'(x)] / [g(x)]²

기억법: "(앞'뒤 − 앞뒤') / 뒤²"   (단, g(x) ≠ 0)

⚠️ 두 함수의 곱은 각각 미분해서 곱하면 안 된다!
(x²·x³)' ≠ 2x·3x²   (= 6x³, 틀림!)
x²·x³ = x⁵ → 5x⁴ 이거나, 곱의 미분법: 2x·x³ + x²·3x² = 2x⁴+3x⁴ = 5x⁴ ✓

예제 6   곱의 미분법

다음 함수를 미분하여라.

(1) f(x) = (x²+1)(x³−2)    (2) f(x) = (2x−1)³

풀이

(1) f'(x) = (x²+1)'(x³−2) + (x²+1)(x³−2)'
= 2x(x³−2) + (x²+1)·3x²
= 2x⁴−4x + 3x⁴+3x²
= 5x⁴+3x²−4x

(2) 방법1 — 전개:
(2x−1)³ = 8x³−12x²+6x−1
f'(x) = 24x²−24x+6 = 6(2x−1)²

방법2 — 곱의 미분 반복 (나중에 합성함수 미분으로 더 빠르게): [(2x−1)·(2x−1)²]' = 2(2x−1)²+(2x−1)·2·2(2x−1) = 2(2x−1)²+4(2x−1)² = 6(2x−1)²

답: (1) 5x⁴+3x²−4x   (2) 6(2x−1)²

예제 7   몫의 미분법

f(x) = (x²+3x) / (x−1) 을 미분하여라.

풀이

p(x) = x²+3x, q(x) = x−1
p'(x) = 2x+3, q'(x) = 1

f'(x) = [(2x+3)(x−1) − (x²+3x)·1] / (x−1)²
= [2x²+x−3 − x²−3x] / (x−1)²
= (x²−2x−3) / (x−1)²
= (x−3)(x+1) / (x−1)²

답: (x−3)(x+1)/(x−1)²

 

6. 종합 예제

종합 예제 1   도함수와 미분계수 활용

f(x) = x³ − 3x² + 2 에서
(1) f'(x)를 구하여라.
(2) f'(1)을 구하고 기하학적 의미를 설명하여라.
(3) f'(x) = 0이 되는 x를 구하여라.

풀이

(1) f'(x) = 3x² − 6x

(2) f'(1) = 3·1 − 6·1 = −3
기하학적 의미: 곡선 y = f(x) 위의 점 (1, f(1)) = (1, 0)에서
접선의 기울기가 −3이다.

(3) 3x² − 6x = 0
3x(x − 2) = 0
x = 0 또는 x = 2

답: (1) 3x²−6x   (2) −3 (접선 기울기)   (3) x=0, x=2

종합 예제 2   미분계수 = 극한값 연결

f(x)가 미분가능하고 f(2) = 3, f'(2) = 5일 때,
lim_h→0 [f(2+3h) − f(2)] / h 를 구하여라.

💡 힌트: 분자·분모를 3으로 나눠서 f'(2) 꼴로 만들자.

풀이

lim_h→0 [f(2+3h) − f(2)] / h

= lim_h→0 [f(2+3h) − f(2)] / (3h) · 3

t = 3h 로 놓으면 h→0일 때 t→0
= 3 · lim_t→0 [f(2+t) − f(2)] / t
= 3 · f'(2)
= 3 · 5 = 15

답: 15

📌 핵심 정리

• 평균변화율: [f(b)−f(a)]/(b−a) = 할선의 기울기
• 미분계수 f'(a): lim_h→0[f(a+h)−f(a)]/h = 접선의 기울기 = 순간변화율
• 두 정의식 동치: h→0 형식과 x→a 형식 모두 숙지
• 극한 → 미분계수: [f(a+h)−f(a)]/h 꼴 인식 → f'(a)로 변환
• 미분가능 → 연속 (역은 불성립, y=|x| at x=0이 반례)
• 도함수: f'(x) = lim[f(x+h)−f(x)]/h. 미분계수를 x의 함수로 표현
• (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹: 지수 내려서 앞에, 지수에서 1 빼기
• 상수' = 0, (cf)' = cf', (f±g)' = f'±g'
• 곱의 미분법: (fg)' = f'g + fg' / 몫의 미분법: (f/g)' = (f'g−fg')/g²
• lim[f(a+kh)−f(a)]/h = k·f'(a)

▶ 2편에서는 도함수의 활용 — 접선·증감·극값·최대최소·방정식을 다룬다.