[적분법] 정적분의 활용 — 넓이·부피·속도·거리 공식과 예제

정적분의 진짜 힘은 활용에 있다.
곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이, 회전체의 부피, 물리에서의 속도·거리 — 이 모든 것이 정적분 하나로 구해진다.
이번 3편은 수능·내신에서 배점이 높은 활용 문제들을 예제와 함께 완전 정복한다.

1. 곡선과 x축 사이의 넓이

 

예제 1   곡선과 x축 사이의 넓이

곡선 y = x² − x − 2 와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

💡 먼저 x절편을 구해 구간을 찾고, f(x)의 부호를 확인하자.

풀이

x² − x − 2 = (x−2)(x+1) = 0 → x = −1 또는 x = 2

−1 < x < 2 에서 f(x) = (x−2)(x+1) < 0 (두 근 사이에서 음수)

넓이 S = ∫₋₁² |x²−x−2| dx = ∫₋₁² −(x²−x−2) dx
= ∫₋₁² (−x²+x+2) dx
= [−x³/3 + x²/2 + 2x]₋₁²
= (−8/3 + 2 + 4) − (1/3 + 1/2 − 2)
= (−8/3 + 6) − (1/3 − 3/2)
= 10/3 − (−7/6) = 10/3 + 7/6 = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2

답: 9/2

 

2. 두 곡선 사이의 넓이

📐 두 곡선 사이의 넓이

두 곡선 y=f(x), y=g(x)가 x=a, x=b에서 만날 때 (a<b)

S = ∫_a^b |f(x) − g(x)| dx

구간 내에서 f(x) ≥ g(x)이면: S = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx

예제 2   두 곡선 사이의 넓이

y = x² 와 y = x + 2 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

💡 두 곡선의 교점을 먼저 구하자. x²=x+2 풀기.

풀이

교점: x² = x+2 → x²−x−2=0 → (x−2)(x+1)=0
x = −1 또는 x = 2

−1 ≤ x ≤ 2 에서 x+2 ≥ x² (직선이 위쪽)

S = ∫₋₁²[(x+2) − x²]dx
= ∫₋₁²(−x²+x+2)dx
= [−x³/3 + x²/2 + 2x]₋₁²
= (−8/3 + 2 + 4) − (1/3 + 1/2 − 2)
= 10/3 + 7/6 = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2

답: 9/2

예제 3   두 곡선 (사이에서 대소 바뀜)

y = sin x 와 y = cos x 로 둘러싸인 부분 중 0 ≤ x ≤ π 에서의 넓이를 구하여라.

💡 sin x = cos x가 되는 점(π/4)에서 대소가 바뀐다.

풀이

sin x = cos x → tan x = 1 → x = π/4 (0<x<π에서)

0 < x < π/4: cos x > sin x
π/4 < x < π: sin x > cos x

S = ∫₀^π/4(cos x−sin x)dx + ∫_π/4^π(sin x−cos x)dx

= [sin x + cos x]₀^π/4 + [−cos x − sin x]_π/4^π

= (√2/2+√2/2 − 0−1) + (1−0 − (−√2/2−√2/2))
= (√2−1) + (1+√2) = 2√2

답: 2√2

 

반응형

 

3. 회전체의 부피

곡선 y = f(x)와 x축 사이의 도형을 x축을 중심으로 회전시키면 3차원 회전체가 된다. 이 부피는 정적분으로 구한다.

📐 x축 회전체의 부피

y = f(x)를 x축 주위로 회전한 회전체의 부피:

V = π ∫_a^b [f(x)]² dx

원리: 각 x에서 반지름 f(x)인 원의 넓이 π[f(x)]²를 x방향으로 쌓은 것

📐 y축 회전체의 부피

x = g(y)를 y축 주위로 회전한 회전체의 부피 (y: c → d):

V = π ∫_c^d [g(y)]² dy

예제 4   회전체의 부피

y = √x (0 ≤ x ≤ 4)를 x축 주위로 회전시킨 회전체의 부피를 구하여라.

풀이

V = π∫₀⁴(√x)² dx = π∫₀⁴x dx
= π[x²/2]₀⁴ = π·(16/2 − 0) = 8π

답: 8π

예제 5   두 곡선 사이 회전체

y = x와 y = x² (0≤x≤1) 사이의 도형을 x축 주위로 회전시킨 회전체의 부피를 구하여라.

💡 바깥 함수² − 안쪽 함수²

풀이

0 ≤ x ≤ 1 에서 x ≥ x² 이므로 y=x가 바깥

V = π∫₀¹[x² − (x²)²]dx = π∫₀¹(x² − x⁴)dx
= π[x³/3 − x⁵/5]₀¹
= π(1/3 − 1/5) = π·(5−3)/15 = 2π/15

답: 2π/15

 

4. 속도와 거리 — 정적분의 물리적 활용

📐 속도·거리와 정적분

위치 x(t), 속도 v(t) = x'(t), 가속도 a(t) = v'(t)

위치 변화량 (변위): ∫_t₁^t₂ v(t)dt = x(t₂) − x(t₁)

실제 이동 거리: ∫_t₁^t₂ |v(t)| dt

변위 ≠ 거리! 방향이 바뀌면 변위는 상쇄되지만 거리는 더해진다.

예제 6   속도·거리

속도 v(t) = t² − 4t + 3 으로 움직이는 점 P가 있다.

t = 0에서 t = 4까지의 (1) 변위와 (2) 이동 거리를 구하여라.

💡 v(t) = (t−1)(t−3) → t=1, t=3에서 방향 전환

풀이

(1) 변위 = ∫₀⁴(t²−4t+3)dt
= [t³/3 − 2t² + 3t]₀⁴
= (64/3 − 32 + 12) − 0 = 64/3 − 20 = 4/3

(2) v(t) = (t−1)(t−3)
0<t<1: v>0 / 1<t<3: v<0 / 3<t<4: v>0

거리 = ∫₀¹v dt − ∫₁³v dt + ∫₃⁴v dt

∫₀¹v dt = [t³/3−2t²+3t]₀¹ = 1/3−2+3 = 4/3
∫₁³v dt = [t³/3−2t²+3t]₁³ = (9−18+9)−(4/3) = −4/3
∫₃⁴v dt = (4/3) − 0 = ... = 4/3

거리 = 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4

답: (1) 변위 4/3   (2) 이동 거리 4

💡 변위와 거리 — 핵심 비교
변위: ∫v dt — 방향이 반대면 상쇄. 출발·도착 위치 차이
거리: ∫|v| dt — 항상 양수. 실제 움직인 총 경로 길이
v(t)=0이 되는 시점에서 구간을 나눠 절댓값 처리해야 한다.

 

5. 종합 예제

종합 예제 1   넓이를 매개변수로 표현

곡선 y = x³ − 3x 와 직선 y = kx 로 둘러싸인 도형의 넓이가 8일 때, 양수 k를 구하여라.

💡 교점을 구하고 넓이를 k에 대한 식으로 표현한 뒤 = 8로 방정식 세우기.

풀이

교점: x³ − 3x = kx → x³ − (k+3)x = 0
x[x² − (k+3)] = 0 → x = 0 또는 x = ±√(k+3)

대칭성으로 S = 2∫₀^√(k+3)[kx − (x³−3x)]dx
= 2∫₀^√(k+3)[(k+3)x − x³]dx
= 2[(k+3)x²/2 − x⁴/4]₀^√(k+3)
= 2·[(k+3)²/2 − (k+3)²/4]
= 2·(k+3)²/4 = (k+3)²/2

(k+3)²/2 = 8 → (k+3)² = 16 → k+3 = 4 (k>0)
k = 1

답: k = 1

종합 예제 2   지수함수 회전체

y = eˣ (0 ≤ x ≤ 1)을 x축 주위로 회전시킨 회전체의 부피를 구하여라.

풀이

V = π∫₀¹(eˣ)²dx = π∫₀¹e^(2x)dx
= π·[e^(2x)/2]₀¹
= π·(e²/2 − 1/2) = π(e²−1)/2

답: π(e²−1)/2

📌 핵심 정리

• x축과의 넓이: S = ∫|f(x)|dx. 부호 변환점에서 구간 분리
• 두 곡선 사이 넓이: S = ∫|f(x)−g(x)|dx. 교점에서 구간 분리
• 대소 비교: 위 곡선 − 아래 곡선 = 양수 → 절댓값 불필요
• x축 회전체 부피: V = π∫[f(x)]²dx
• 두 곡선 회전체: V = π∫([바깥]² − [안쪽]²)dx
• 변위: ∫_t₁^t₂v(t)dt = x(t₂)−x(t₁). 방향 상쇄 있음
• 이동 거리: ∫_t₁^t₂|v(t)|dt. 항상 양수. v=0인 점에서 구간 분리
• 넓이 공식 핵심: 항상 위 − 아래 (또는 절댓값) 잊지 말 것

▶ 1편(부정적분) → 2편(정적분) → 3편(활용) 순서로 읽으면 적분법 전체가 완성된다.