[적분법] 부정적분 완전 정복 — 기본 공식부터 치환·부분적분까지

미분이 함수의 변화율을 구하는 것이라면, 적분은 그 반대 방향이다.
"어떤 함수를 미분하면 f(x)가 되는가?"라는 질문에 답하는 것이 부정적분이고, "f(x)를 구간 [a, b]에서 더한 값은 얼마인가?"가 정적분이다.
이번 1편에서는 부정적분의 정의부터 치환적분·부분적분까지 단계별로 정리한다.

1. 부정적분이란?

미분의 역연산

F'(x) = f(x)를 만족하는 F(x)를 f(x)의 원시함수(antiderivative)라 한다. 그리고 f(x)의 모든 원시함수를 모은 것이 부정적분이다.

📐 부정적분의 정의

∫f(x)dx = F(x) + C   (단, F'(x) = f(x))

C: 적분상수(constant of integration) — 어떤 실수도 가능

기호 ∫ : 인테그랄(integral). "더한다"는 의미의 Sum에서 유래.

⚠️ 적분상수 C를 반드시 써야 한다!
f(x) = 2x를 적분하면 x²이 되지만, x² + 1, x² − 5도 모두 미분하면 2x가 된다.
즉, 원시함수는 무수히 많다. 이것을 C로 표현한다.
→ 부정적분 답에 + C 빠뜨리면 틀린 답이다!

💡 미분과 적분은 서로 역연산
d/dx [∫f(x)dx] = f(x)   (적분 후 미분 → 원래 함수)
∫f'(x)dx = f(x) + C   (미분 후 적분 → 원래 함수 + C)

 

2. 기본 적분 공식 — 반드시 암기

📐 기본 적분 공식 (미분의 역으로 이해하기)

f(x)	∫f(x)dx	확인 (미분)
xⁿ (n≠−1)	xⁿ⁺¹/(n+1) + C	(xⁿ⁺¹/(n+1))' = xⁿ ✓
1/x = x⁻¹	ln|x| + C	(ln|x|)' = 1/x ✓
eˣ	eˣ + C	(eˣ)' = eˣ ✓
aˣ	aˣ/ln a + C	(aˣ/ln a)' = aˣ ✓
sin x	−cos x + C	(−cos x)' = sin x ✓
cos x	sin x + C	(sin x)' = cos x ✓
1/cos²x = sec²x	tan x + C	(tan x)' = sec²x ✓

📐 적분의 선형성 (합·차·상수배)

∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

∫[f(x) − g(x)]dx = ∫f(x)dx − ∫g(x)dx

∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx   (k는 상수)

예제 1   기본 공식으로 적분하기

다음을 구하여라.

(1) ∫(3x² − 2x + 5)dx    (2) ∫(eˣ + 2sin x)dx

풀이

(1) ∫(3x² − 2x + 5)dx = 3·(x³/3) − 2·(x²/2) + 5x + C
= x³ − x² + 5x + C

(2) ∫(eˣ + 2sin x)dx = eˣ + 2·(−cos x) + C
= eˣ − 2cos x + C

답: (1) x³−x²+5x+C   (2) eˣ−2cos x+C

예제 2   변형 후 적분

다음을 구하여라.   ∫(x + 1)²/√x dx

💡 힌트: 분자를 전개하고 각 항을 √x = x^(1/2)으로 나눈 뒤 적분한다.

풀이

(x+1)² = x² + 2x + 1 이므로
∫(x² + 2x + 1)/x^(1/2) dx = ∫(x^(3/2) + 2x^(1/2) + x^(−1/2)) dx

= x^(5/2)/(5/2) + 2·x^(3/2)/(3/2) + x^(1/2)/(1/2) + C
= (2/5)x^(5/2) + (4/3)x^(3/2) + 2x^(1/2) + C
= (2/5)x²√x + (4/3)x√x + 2√x + C

답: (2/5)x²√x + (4/3)x√x + 2√x + C

 

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3. 치환적분법 (Substitution)

핵심 아이디어

복잡한 합성함수를 적분할 때, 안쪽 함수를 t로 치환해서 적분을 단순하게 만드는 방법이다. 미분의 합성함수 미분법(연쇄법칙)의 역이라고 생각하면 된다.

📐 치환적분법

∫f(g(x))·g'(x)dx 에서 t = g(x)로 놓으면 dt = g'(x)dx 이므로

∫f(g(x))·g'(x)dx = ∫f(t)dt

핵심: g'(x)dx를 dt로 바꾸는 것이 치환의 핵심이다.

예제 3   치환적분법 (기본)

∫2x(x² + 1)⁴ dx 를 구하여라.

💡 힌트: t = x²+1로 놓으면 dt = 2x dx

풀이

t = x²+1 로 놓으면 dt/dx = 2x, 즉 dt = 2x dx

∫2x(x²+1)⁴ dx = ∫t⁴ dt
= t⁵/5 + C
= (x²+1)⁵/5 + C

답: (x²+1)⁵/5 + C

예제 4   치환적분법 (삼각·지수)

다음을 구하여라.

(1) ∫sin(3x+1)dx    (2) ∫x·e^(x²) dx

풀이

(1) t = 3x+1 로 놓으면 dt = 3dx, dx = dt/3
∫sin t · (dt/3) = (1/3)·(−cos t) + C = −(1/3)cos(3x+1) + C

(2) t = x² 로 놓으면 dt = 2x dx, x dx = dt/2
∫e^t · (dt/2) = (1/2)eᵗ + C = (1/2)e^(x²) + C

답: (1) −(1/3)cos(3x+1)+C   (2) (1/2)e^(x²)+C

예제 5   치환적분법 (로그)

∫(2x)/(x² + 3) dx 를 구하여라.

💡 힌트: t = x²+3, dt = 2x dx → ∫(1/t)dt = ln|t|+C

풀이

t = x²+3 으로 놓으면 dt = 2x dx

∫(2x)/(x²+3) dx = ∫(1/t) dt = ln|t| + C
= ln(x²+3) + C   (x²+3 > 0이므로 절댓값 불필요)

답: ln(x²+3) + C

📌 치환 없이 바로 쓸 수 있는 패턴
∫(ax+b)ⁿ dx = (ax+b)ⁿ⁺¹/[a(n+1)] + C
∫e^(ax+b) dx = (1/a)e^(ax+b) + C
∫sin(ax+b) dx = −(1/a)cos(ax+b) + C
∫cos(ax+b) dx = (1/a)sin(ax+b) + C
∫1/(ax+b) dx = (1/a)ln|ax+b| + C
→ 공통 규칙: 합성함수 f(ax+b) 적분 시 앞에 (1/a) 붙인다

 

4. 부분적분법 (Integration by Parts)

핵심 아이디어

두 함수의 곱을 적분할 때 사용한다. 미분의 곱의 미분법을 적분에 적용한 것이다.

📐 부분적분법 공식

∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫f'(x)g(x)dx

쉬운 표현: ∫uv'dx = uv − ∫u'v dx

유도: 곱의 미분법 (fg)' = f'g + fg' 를 적분하면 fg = ∫f'g dx + ∫fg' dx
→ ∫fg' dx = fg − ∫f'g dx

u 선택 우선순위 — LIATE 법칙

어느 함수를 u(미분할 함수)로 놓을지 결정하는 경험칙이다.

L · I · A · T · E

L: 로그함수 (Logarithmic)   I: 역삼각함수 (Inverse trig)
A: 대수함수(다항식) (Algebraic)   T: 삼각함수 (Trigonometric)   E: 지수함수 (Exponential)
→ 앞에 있는 것을 u로 선택. 예: x·eˣ → x가 A(대수), eˣ가 E → u=x, v'=eˣ

예제 6   부분적분법 (기본)

∫x·eˣ dx 를 구하여라.

💡 힌트: LIATE에서 x(대수) > eˣ(지수) → u=x, v'=eˣ

풀이

u = x,   v' = eˣ 로 놓으면
u' = 1,   v = eˣ

∫x·eˣ dx = x·eˣ − ∫1·eˣ dx
= x·eˣ − eˣ + C
= eˣ(x−1) + C

답: eˣ(x−1) + C

예제 7   부분적분법 (삼각·다항)

∫x·cos x dx 를 구하여라.

풀이

u = x,   v' = cos x 로 놓으면
u' = 1,   v = sin x

∫x·cos x dx = x·sin x − ∫1·sin x dx
= x·sin x − (−cos x) + C
= x sin x + cos x + C

답: x sin x + cos x + C

예제 8   부분적분법 (로그)

∫ln x dx 를 구하여라.

💡 힌트: ln x = ln x · 1 로 보고 u=ln x, v'=1 로 놓는다.

풀이

u = ln x,   v' = 1 로 놓으면
u' = 1/x,   v = x

∫ln x dx = x·ln x − ∫x·(1/x) dx
= x·ln x − ∫1 dx
= x·ln x − x + C
= x(ln x − 1) + C

답: x(ln x − 1) + C

예제 9   부분적분 두 번 반복

∫x²·eˣ dx 를 구하여라.

💡 힌트: 부분적분을 두 번 해야 한다. x²의 차수가 줄어드는 방향으로.

풀이

1차 부분적분: u=x², v'=eˣ → u'=2x, v=eˣ
∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x·eˣ dx

2차 부분적분: ∫2x·eˣ dx = 2[xeˣ − eˣ] + C

따라서:
= x²eˣ − 2(xeˣ − eˣ) + C
= x²eˣ − 2xeˣ + 2eˣ + C
= eˣ(x² − 2x + 2) + C

답: eˣ(x²−2x+2) + C

 

5. 어떤 방법을 써야 할까? — 선택 기준

피적분함수 형태	방법	예시
다항식, 지수, 삼각 단독	기본 공식 직접 적용	∫3x²dx, ∫sin x dx
f(g(x))·g'(x) 꼴	치환적분	∫2x(x²+1)⁴dx
f(ax+b) 꼴	치환 패턴 암기	∫sin(3x+1)dx
두 함수의 곱 (다항×지수, 다항×삼각)	부분적분	∫xeˣdx
ln x 단독	부분적분 (v'=1)	∫ln x dx

📌 핵심 정리

• 부정적분: ∫f(x)dx = F(x)+C (F'(x)=f(x)). 반드시 +C 필요
• ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n≠−1)  |  ∫(1/x)dx = ln|x|+C
• ∫eˣdx = eˣ+C  |  ∫aˣdx = aˣ/ln a + C
• ∫sin x dx = −cos x+C  |  ∫cos x dx = sin x+C
• 치환적분: t=g(x)로 놓고 dt=g'(x)dx 로 변환
• f(ax+b) 패턴: 앞에 1/a 붙인다
• 부분적분: ∫uv'dx = uv − ∫u'v dx
• LIATE: 로그→역삼각→대수(다항)→삼각→지수 순서로 u 선택
• ∫ln x dx = x(ln x−1)+C  |  ∫xeˣdx = eˣ(x−1)+C

▶ 2편에서는 정적분의 정의·성질·계산·치환·부분적분을 다룬다.