[미분법] 미분의 정의부터 기본 공식까지 - 미분계수·도함수·곱의 미분법 총정리

기울기는 직선에서만 이야기할 수 있다고 생각했는가?
미분은 곡선 위의 한 점에서 순간적인 기울기를 구하는 도구다.
이번 글(1편)에서는 미분이 무엇인지, 미분계수와 도함수의 의미, 그리고 실전에서 바로 쓸 수 있는 기본 미분 공식을 예제와 함께 정리한다.

1. 평균변화율 — 미분으로 가는 첫 걸음

함수 y = f(x)에서 x가 a에서 b까지 변할 때, y의 변화량을 x의 변화량으로 나눈 값을 평균변화율이라 한다.

평균변화율 = Δy / Δx = (f(b) − f(a)) / (b − a)

Δx = b − a: x의 변화량  |  Δy = f(b) − f(a): y의 변화량
기하학적 의미: 두 점 (a, f(a))와 (b, f(b))를 잇는 할선(secant line)의 기울기

 

예제 1   평균변화율 계산

f(x) = x² − 2x 에서 x = 1부터 x = 3까지의 평균변화율을 구하여라.

풀이

f(1) = 1² − 2·1 = −1
f(3) = 3² − 2·3 = 3

평균변화율 = (f(3) − f(1)) / (3 − 1) = (3 − (−1)) / 2 = 4/2 = 2

답: 2

 

2. 미분계수 — 한 점에서의 순간변화율

평균변화율에서 Δx → 0으로 보내면, 즉 b를 a에 한없이 가깝게 만들면 할선이 점점 접선에 수렴한다. 이 극한값을 미분계수(derivative at a point)라 한다.

📐 미분계수의 정의

f'(a) = lim_Δx→0 [f(a+Δx) − f(a)] / Δx = lim_x→a [f(x) − f(a)] / (x − a)

기하학적 의미: 곡선 y = f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선의 기울기

물리적 의미: x = a에서의 순간변화율 (속도, 순간 가속도 등)

💡 두 정의식은 같다 — h = Δx 로 놓으면
f'(a) = lim_h→0 [f(a+h) − f(a)] / h
h를 Δx 대신 쓰는 것이 더 일반적이다. 두 표현 모두 자유롭게 사용할 수 있어야 한다.

예제 2   미분계수 구하기 (정의 이용)

f(x) = x² + 3x 일 때, 미분의 정의를 이용하여 f'(2)를 구하여라.

💡 힌트: f'(2) = lim_h→0 [f(2+h) − f(2)] / h

풀이

f(2) = 4 + 6 = 10
f(2+h) = (2+h)² + 3(2+h) = 4 + 4h + h² + 6 + 3h = h² + 7h + 10

f'(2) = lim_h→0 [(h² + 7h + 10) − 10] / h
= lim_h→0 (h² + 7h) / h
= lim_h→0 h(h + 7) / h
= lim_h→0 (h + 7) = 7

답: 7

미분가능성과 연속성

미분계수가 존재할 조건이 무엇인지도 알아야 한다.

📐 미분가능 조건

f'(a)가 존재하면 (극한값이 수렴하면) x = a에서 미분가능하다고 한다.

미분가능 → 연속 (미분가능하면 반드시 연속이다)

연속이어도 미분불가능할 수 있다 (역은 성립 안 함!)

⚠️ 미분불가능한 대표 경우
① 꺾인 점(뾰족한 점): y = |x| 에서 x = 0
→ 좌미분 = −1, 우미분 = +1 → 서로 다르므로 미분불가

② 불연속점: 연속이 아니면 미분도 불가

 

3. 도함수 — f(x) 전체를 미분하기

미분계수 f'(a)는 특정 점 a에서의 기울기 하나였다. 도함수(derivative function)는 모든 점에서의 미분계수를 하나의 함수로 나타낸 것이다.

📐 도함수의 정의

f'(x) = lim_h→0 [f(x+h) − f(x)] / h

도함수를 나타내는 다양한 기호: f'(x) = y' = dy/dx = d/dx[f(x)]

f'(a)를 구하려면: 도함수 f'(x)를 먼저 구한 뒤 x = a를 대입하면 된다.

예제 3   도함수 구하기 (정의 이용)

f(x) = 3x² 의 도함수를 정의를 이용해 구하여라.

풀이

f(x+h) = 3(x+h)² = 3(x² + 2xh + h²) = 3x² + 6xh + 3h²

f'(x) = lim_h→0 [f(x+h) − f(x)] / h
= lim_h→0 [(3x² + 6xh + 3h²) − 3x²] / h
= lim_h→0 (6xh + 3h²) / h
= lim_h→0 h(6x + 3h) / h
= lim_h→0 (6x + 3h) = 6x

답: f'(x) = 6x

 

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4. 기본 미분 공식 — 암기 필수

매번 정의로 미분을 구하면 너무 번거롭다. 자주 나오는 함수들의 미분 공식을 외워두면 훨씬 빠르게 계산할 수 있다.

📐 기본 미분 공식

함수	도함수	비고
f(x) = c (상수)	f'(x) = 0	상수는 항상 0
f(x) = xⁿ	f'(x) = nxⁿ⁻¹	거듭제곱 공식
f(x) = cg(x)	f'(x) = cg'(x)	상수배
f(x) = g(x) ± h(x)	f'(x) = g'(x) ± h'(x)	합·차

💡 거듭제곱 미분 공식 — xⁿ의 미분은 nxⁿ⁻¹
x³ → 3x²  |  x⁵ → 5x⁴  |  x → 1  |  x⁻¹ → −x⁻²
지수를 앞으로 내리고, 지수에서 1을 뺀다는 규칙만 기억하면 된다.

예제 4   기본 공식으로 미분하기

다음 함수를 미분하여라.   f(x) = 2x⁴ − 5x² + 3x − 7

풀이

f'(x) = 2·4x³ − 5·2x + 3·1 − 0
= 8x³ − 10x + 3

답: f'(x) = 8x³ − 10x + 3

 

5. 곱의 미분법

두 함수의 곱을 미분할 때는 단순히 각각 미분해서 곱하면 안 된다. 곱의 미분법을 사용해야 한다.

📐 곱의 미분법 (Product Rule)

{f(x)g(x)}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

기억법: "앞' × 뒤 + 앞 × 뒤'"

💡 왜 그냥 곱하면 안 되는가?
y = x² · x³ = x⁵ → y' = 5x⁴   ✓
x² 미분(2x) × x³ 미분(3x²) = 6x³   ✗ (틀림!)
→ 곱의 미분은 반드시 공식대로 해야 한다.

예제 5   곱의 미분법

f(x) = (x² + 1)(x³ − 2x) 를 미분하여라.

💡 힌트: f(x) = g(x)·h(x)로 놓고 곱의 미분법 적용

풀이

g(x) = x² + 1,   g'(x) = 2x
h(x) = x³ − 2x,   h'(x) = 3x² − 2

f'(x) = g'(x)·h(x) + g(x)·h'(x)
= 2x(x³ − 2x) + (x² + 1)(3x² − 2)
= 2x⁴ − 4x² + 3x⁴ − 2x² + 3x² − 2
= 5x⁴ − 3x² − 2

[검산] f(x) = x⁵ − 2x³ + x³ − 2x = x⁵ − x³ − 2x
f'(x) = 5x⁴ − 3x² − 2 ✓

답: f'(x) = 5x⁴ − 3x² − 2

예제 6   곱의 미분법 응용

f(x) = (2x − 1)³ 을 미분하여라.  (전개 없이 풀어라)

💡 힌트: (2x−1)³ = (2x−1)·(2x−1)²으로 분리하거나, 합성함수 미분(2편)을 이용한다. 여기서는 전개법으로 풀자.

풀이 — 전개 후 미분

(2x−1)³ = 8x³ − 12x² + 6x − 1

f'(x) = 24x² − 24x + 6 = 6(4x² − 4x + 1) = 6(2x−1)²

→ 나중에 합성함수 미분법으로 구하면 더 빠르다!
[(2x−1)³]' = 3(2x−1)² · 2 = 6(2x−1)²

답: f'(x) = 6(2x−1)²

 

6. 몫의 미분법

📐 몫의 미분법 (Quotient Rule)

{f(x)/g(x)}' = [f'(x)g(x) − f(x)g'(x)] / [g(x)]²

기억법: "(앞' × 뒤 − 앞 × 뒤') / 뒤²"   단, g(x) ≠ 0

예제 7   몫의 미분법

f(x) = (x² + 3) / (2x − 1) 을 미분하여라.

💡 분자를 f, 분모를 g로 놓고 공식 적용

풀이

분자: p(x) = x² + 3,   p'(x) = 2x
분모: q(x) = 2x − 1,   q'(x) = 2

f'(x) = [p'q − pq'] / q²
= [2x(2x−1) − (x²+3)·2] / (2x−1)²
= [4x² − 2x − 2x² − 6] / (2x−1)²
= (2x² − 2x − 6) / (2x−1)²
= 2(x² − x − 3) / (2x−1)²

답: f'(x) = 2(x² − x − 3) / (2x−1)²

 

7. 종합 예제

종합 예제   미분계수의 활용

f(x) = x³ − 3x² + 2 일 때, 다음을 구하여라.
(1) f'(x)    (2) f'(1)    (3) f'(1)의 기하학적 의미

풀이

(1) f'(x) = 3x² − 6x

(2) f'(1) = 3·1² − 6·1 = 3 − 6 = −3

(3) 기하학적 의미:
곡선 y = x³ − 3x² + 2 위의 점 (1, f(1))에서의 접선의 기울기가 −3이다.
f(1) = 1 − 3 + 2 = 0 이므로, 점 (1, 0)에서의 접선의 기울기 = −3

답: (1) 3x²−6x   (2) −3   (3) 점 (1,0)에서 접선의 기울기

도전 예제   미분계수의 극한 표현

다음 극한값을 f'(a)로 나타내어 구하여라.
lim_h→0 [(2+h)³ − 8] / h

💡 힌트: lim_h→0 [f(a+h) − f(a)] / h = f'(a) 꼴로 변환해보자.

풀이

(2+h)³ − 8 = (2+h)³ − 2³ 이므로

f(x) = x³, a = 2 로 놓으면
lim_h→0 [f(2+h) − f(2)] / h = f'(2)

f'(x) = 3x² 이므로
f'(2) = 3 · 4 = 12

답: 12

📌 핵심 정리

• 평균변화율: (f(b)−f(a))/(b−a) = 할선의 기울기
• 미분계수 f'(a): lim_h→0 [f(a+h)−f(a)]/h = 접선의 기울기 = 순간변화율
• 도함수 f'(x): 모든 점에서의 미분계수를 하나의 함수로 표현
• 미분가능 → 연속 (역은 성립 안 함. |x|의 x=0이 반례)
• 거듭제곱 공식: (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
• 상수 미분: c' = 0
• 합·차: (f ± g)' = f' ± g'
• 곱의 미분법: (fg)' = f'g + fg'
• 몫의 미분법: (f/g)' = (f'g − fg') / g²
• 극한과 미분계수: lim [f(a+h)−f(a)]/h 꼴 → f'(a)로 변환해서 풀기

▶ 2편에서는 삼각함수·지수·로그 미분과 합성함수·음함수·매개변수 미분을 다룬다.