[수열의 극한] 수렴과 발산 완전 정복 — 극한값 계산 유형별 총정리

"n이 한없이 커질 때, 이 수열은 어디로 향할까?"
수열의 극한은 이 질문에 수학적으로 답하는 이론이다.
이번 글에서는 수열의 수렴과 발산이 무엇인지부터 시작해서, 극한값을 실제로 계산하는 방법까지 단계별로 정리한다.
예시 문제와 풀이를 통해 개념을 확실히 익혀보자.

1. 수열의 수렴과 발산

수렴이란?

수열 {aₙ}에서 n이 한없이 커질 때(n → ∞), aₙ의 값이 어떤 일정한 값 α에 한없이 가까워지면 이 수열은 α에 수렴(Converge)한다고 한다.

📐 정의 — 수열의 수렴

수열 {aₙ}에서 n이 한없이 커질 때 aₙ이 일정한 값 α에 한없이 가까워지면,

lim_n→∞ aₙ = α

라고 쓰고, "수열 {aₙ}의 극한값은 α이다" 또는 "수열 {aₙ}은 α에 수렴한다"라고 읽는다. 이때 α를 극한값(limit)이라 한다.

발산이란?

수열이 수렴하지 않으면 발산(Diverge)한다고 한다. 발산에는 세 가지 유형이 있다.

양의 무한대로 발산

aₙ이 한없이 커질 때

lim_n→∞ aₙ = +∞

예) aₙ = n  →  1, 2, 3, 4, ...

음의 무한대로 발산

aₙ이 한없이 작아질 때

lim_n→∞ aₙ = −∞

예) aₙ = −n  →  −1, −2, −3, ...

진동 (oscillation)

일정한 값에도, 무한대에도 가지 않고 왔다갔다할 때

예) aₙ = (−1)ⁿ
→ −1, 1, −1, 1, ... 무한 반복

⚠️ 주의: ∞는 수가 아니다!
lim aₙ = ∞라고 쓸 때, ∞는 극한값이 아니다.
이 표현은 "aₙ이 한없이 커진다"는 상태를 나타내는 것일 뿐,
∞라는 수에 수렴한다는 뜻이 아니다.
→ ∞로 발산하는 수열은 수렴하지 않는다는 것을 반드시 기억하자.

수열의 극한 — 구체적 예시로 확인하기

수열 aₙ	처음 몇 항	극한	수렴/발산
1/n	1, 1/2, 1/3, 1/4, ...	0	수렴
(n+1)/n	2, 3/2, 4/3, 5/4, ...	1	수렴
n²	1, 4, 9, 16, ...	+∞	발산
(−1)ⁿ	−1, 1, −1, 1, ...	없음	발산(진동)
3	3, 3, 3, 3, ...	3	수렴

💡 상수 수열은 항상 수렴!
모든 항이 같은 값 c인 상수 수열 {c, c, c, ...}은 c에 수렴한다.
lim_n→∞ c = c

 

2. 수열의 극한에 관한 기본 성질

두 수열 {aₙ}과 {bₙ}이 각각 수렴할 때, 즉 lim aₙ = α, lim bₙ = β라 하면 다음 성질이 성립한다.

📐 극한의 기본 성질

① lim (aₙ ± bₙ) = α ± β   (합·차)

② lim (aₙ × bₙ) = α × β   (곱)

③ lim (c × aₙ) = c × α   (상수배, c는 상수)

④ lim (aₙ / bₙ) = α / β   (몫, 단 β ≠ 0)

💡 이 성질들이 왜 필요한가?
복잡한 수열의 극한을 계산할 때, 전체를 한꺼번에 보는 대신
덧셈·곱셈·나눗셈으로 쪼개서 각각의 극한을 계산한 뒤 합칠 수 있다.
단, 이 성질은 두 수열이 모두 수렴할 때만 쓸 수 있다.

 

3. 극한값 계산 — 핵심 유형별 풀이법

유형 1: ∞/∞ 꼴 — 분자·분모의 최고차항으로 나누기

분자와 분모가 모두 n에 대한 다항식일 때, 분자와 분모를 최고차항으로 나눠서 극한을 구한다.

∞/∞ 꼴 → 분자·분모를 최고차항 nᵏ으로 나눈다

결과는 분자·분모의 최고차항의 계수와 차수에 따라 결정된다.

예제 1   다음 극한값을 구하여라. (∞/∞ 꼴)

lim_n→∞ (3n² + 2n) / (n² − 4n + 1)

💡 힌트: 분자·분모에서 가장 높은 차수는 n²이다. n²으로 나눠보자.

풀이

분자와 분모를 n²으로 나눈다.

= lim_n→∞ (3n²/n² + 2n/n²) / (n²/n² − 4n/n² + 1/n²)

= lim_n→∞ (3 + 2/n) / (1 − 4/n + 1/n²)

n → ∞ 이면   2/n → 0,  4/n → 0,  1/n² → 0

= (3 + 0) / (1 − 0 + 0) = 3

답: 3

예제 2   다음 극한값을 구하여라.

lim_n→∞ (2n³ + 5) / (4n² + n)

💡 힌트: 최고차항이 분자는 n³, 분모는 n². 분자 차수가 더 높다.

풀이

분자·분모를 분모의 최고차항 n²으로 나눈다.

= lim_n→∞ (2n³/n² + 5/n²) / (4n²/n² + n/n²)

= lim_n→∞ (2n + 5/n²) / (4 + 1/n)

n → ∞ 이면 분자 → ∞, 분모 → 4

→ 전체 → +∞ (발산)

답: +∞ (양의 무한대로 발산)

📌 ∞/∞ 꼴 결과 패턴 요약
분자의 최고차항을 m차, 분모의 최고차항을 n차라 하면:
• m < n이면 → 0 (분자 차수가 낮음)
• m = n이면 → 최고차항의 계수의 비
• m > n이면 → ±∞ (발산)

 

유형 2: ∞ − ∞ 꼴 — 분모 만들기 or 인수분해

∞ − ∞는 그냥 계산하면 ∞ − ∞로 값을 알 수 없는 꼴이다. 분모를 만들어서 ∞/∞ 꼴로 변환하거나 인수분해한다.

예제 3   다음 극한값을 구하여라. (∞ − ∞ 꼴)

lim_n→∞ (√(n² + 3n) − n)

n → ∞ 이면 √(n²+3n) → ∞ 이고 n → ∞ 이므로, ∞ − ∞ 꼴

💡 힌트: 루트가 포함된 ∞−∞ 꼴은 분자·분모에 (켤레식)을 곱해서 유리화한다.

풀이 — 유리화

분자·분모에 (√(n²+3n) + n)을 곱한다. (켤레식 곱하기)

= lim_n→∞ (√(n²+3n) − n)(√(n²+3n) + n) / (√(n²+3n) + n)

분자: (√(n²+3n))² − n² = (n²+3n) − n² = 3n

= lim_n→∞ 3n / (√(n²+3n) + n)

분자·분모를 n으로 나눈다. (n > 0 이므로 n = √n²)

= lim_n→∞ 3 / (√(1 + 3/n) + 1)

n → ∞ 이면 3/n → 0

= 3 / (√(1+0) + 1) = 3 / (1+1) = 3/2

답: 3/2

예제 4   다음 극한값을 구하여라.

lim_n→∞ (n² + 2n − n² − n)  [= lim_n→∞ n]

실제 문제: lim_n→∞ {(n+1)(n+3) − (n²+n)} 을 구하여라.

💡 힌트: 전개해서 정리하면 의외로 간단해진다.

풀이 — 전개·정리

(n+1)(n+3) = n² + 4n + 3

lim_n→∞ {(n²+4n+3) − (n²+n)}

= lim_n→∞ (3n + 3)

= lim_n→∞ 3(n + 1) = +∞ (발산)

답: +∞ (양의 무한대로 발산)

 

반응형

 

유형 3: 등비수열의 극한 — rⁿ 꼴

공비 r인 등비수열의 극한은 r의 범위에 따라 결과가 달라진다.

📐 rⁿ 의 극한 — 반드시 암기!

조건	lim rⁿ	수렴/발산
r > 1	+∞	발산
r = 1	1	수렴
−1 < r < 1	0	수렴
r = −1	없음 (−1과 1 진동)	발산
r < −1	없음 (진동 발산)	발산

예제 5   다음 극한값을 구하여라.

lim_n→∞ (3ⁿ + 2ⁿ) / (3ⁿ − 2ⁿ)

💡 힌트: 분자·분모에서 가장 빠르게 커지는 항은 3ⁿ이다. 3ⁿ으로 나눠보자.

풀이

분자·분모를 3ⁿ으로 나눈다.

= lim_n→∞ (3ⁿ/3ⁿ + 2ⁿ/3ⁿ) / (3ⁿ/3ⁿ − 2ⁿ/3ⁿ)

= lim_n→∞ (1 + (2/3)ⁿ) / (1 − (2/3)ⁿ)

|2/3| < 1 이므로 (2/3)ⁿ → 0

= (1 + 0) / (1 − 0) = 1

답: 1

예제 6   다음 극한을 구하여라.

lim_n→∞ (2·3ⁿ − 5ⁿ) / (3ⁿ + 2·5ⁿ)

💡 힌트: 가장 빠르게 커지는 항은 5ⁿ이다. 5ⁿ으로 나눠보자.

풀이

분자·분모를 5ⁿ으로 나눈다.

= lim_n→∞ (2·(3/5)ⁿ − 1) / ((3/5)ⁿ + 2)

|3/5| < 1 이므로 (3/5)ⁿ → 0

= (2·0 − 1) / (0 + 2) = −1/2 = −1/2

답: −1/2

 

4. 수열의 극한과 대소 관계

극한의 대소 관계

📐 정리 — 극한과 대소

두 수열 {aₙ}, {bₙ}이 수렴하고 lim aₙ = α, lim bₙ = β일 때,

모든 자연수 n에 대해 aₙ ≤ bₙ이면 → α ≤ β

즉, 항들의 대소 관계가 극한값에도 유지된다.

샌드위치 정리 (끼임 정리)

직접 극한을 계산하기 어려울 때 유용한 정리다. 어떤 수열이 두 수렴하는 수열 사이에 끼어 있으면, 그 수열도 같은 극한값으로 수렴한다.

📐 샌드위치 정리

모든 자연수 n에 대해   aₙ ≤ cₙ ≤ bₙ   이고

lim aₙ = lim bₙ = α 이면  →  lim cₙ = α

예제 7   샌드위치 정리를 이용하여 극한을 구하여라.

모든 자연수 n에 대해   (n² − 1) / n² ≤ aₙ ≤ (n² + 1) / n²   이 성립할 때, lim aₙ을 구하여라.

💡 힌트: 양쪽 수열의 극한을 각각 구해보자.

풀이

lim (n² − 1)/n² = lim (1 − 1/n²) = 1 − 0 = 1

lim (n² + 1)/n² = lim (1 + 1/n²) = 1 + 0 = 1

두 수열이 모두 1에 수렴하고,
(n²−1)/n² ≤ aₙ ≤ (n²+1)/n² 이 성립하므로

샌드위치 정리에 의해: lim aₙ = 1

답: 1

 

5. 등비수열의 수렴 조건

첫째항이 a이고 공비가 r인 등비수열 {arⁿ⁻¹}이 수렴하려면 어떤 조건이 필요할까?

a = 0 인 경우

모든 항이 0이므로
항상 0에 수렴.

공비 r에 무관하게 수렴.

a ≠ 0 인 경우

rⁿ의 극한이 결정적.

−1 < r ≤ 1 이면 수렴
(r=1이면 a에 수렴, |r|<1이면 0에 수렴)

그 외에는 발산.

💡 등비수열 수렴 조건 한 줄 정리
등비수열 {arⁿ⁻¹}이 수렴하려면 → a = 0 이거나 −1 < r ≤ 1

📌 핵심 정리

• 수렴: lim_n→∞ aₙ = α. n → ∞ 일 때 aₙ이 α에 한없이 가까워짐
• 발산: 양의 무한대 / 음의 무한대 / 진동 — 세 가지 유형
• ∞는 수가 아님: lim aₙ = ∞는 수렴이 아니라 발산
• 극한의 성질: 수렴하는 두 수열의 합·차·곱·몫의 극한 = 극한의 합·차·곱·몫
• ∞/∞ 꼴: 최고차항으로 나누기 → 차수 비교로 결정
• 분자 차수 < 분모 차수: 극한 = 0
• 분자 차수 = 분모 차수: 극한 = 최고차항 계수의 비
• 분자 차수 > 분모 차수: 발산
• ∞ − ∞ 꼴: 루트 포함 → 유리화(켤레식 곱하기)
• rⁿ 꼴: |r| < 1 → 0 수렴 / r = 1 → 1 수렴 / r ≤ −1 또는 r > 1 → 발산
• 샌드위치 정리: aₙ ≤ cₙ ≤ bₙ이고 lim aₙ = lim bₙ = α → lim cₙ = α

▶ 2편에서는 급수(무한급수), 등비급수, 급수의 수렴·발산 조건을 다룬다.