[수열의 극한] 급수와 등비급수 — 무한급수 수렴 조건부터 순환소수까지

1편에서는 수열 자체의 극한(수렴·발산)을 공부했다.
이번 2편에서는 한 단계 더 나아가 "무한히 많은 항을 모두 더하면 어떻게 되는가?"를 다룬다.
이것이 급수(무한급수)이며, 그 중 가장 중요한 등비급수와 수렴·발산 조건까지 예제와 함께 정리한다.

1. 급수란? — 무한히 더하기

부분합과 급수의 정의

수열 {aₙ}의 각 항을 차례로 더해나갈 때, 그 합을 생각해보자.

📐 부분합 Sₙ의 정의

수열 {aₙ}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 부분합이라 하고 Sₙ으로 나타낸다.

Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ··· + aₙ = Σ_k=1ⁿ aₖ

부분합 수열 {Sₙ}의 극한이 존재할 때, 이 극한을 급수의 합이라 한다.

📐 무한급수(급수)의 정의

수열 {aₙ}의 각 항의 합:

Σ_n=1^∞ aₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ···

를 무한급수(급수)라 한다.

lim_n→∞ Sₙ = S (S는 실수) 이면 → 급수가 S에 수렴하고, S를 급수의 합이라 한다.
lim_n→∞ Sₙ이 존재하지 않으면 → 급수가 발산한다.

💡 급수 ≠ 수열
수열 {aₙ}: 각 항의 나열   →   1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...
급수 Σaₙ: 각 항의 합   →   1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ··· = 1

수열 {aₙ}이 수렴해도 급수 Σaₙ은 발산할 수 있다.
반대로 급수 Σaₙ이 수렴하면 반드시 lim aₙ = 0이다.

 

2. 급수의 수렴과 발산

급수의 수렴·발산 판정 — 부분합으로 확인

급수 Σaₙ의 수렴·발산은 부분합 Sₙ의 극한으로 판정한다. Sₙ이 수렴하면 급수도 수렴, 발산하면 급수도 발산이다.

예제 1   다음 급수의 합을 구하여라.

Σ_n=1^∞ 1/(n(n+1)) = 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + ···

💡 힌트: 부분분수 분해를 이용한다. 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1)

풀이 — 부분분수 분해 후 부분합 계산

1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1) 으로 변환한다.

부분합 Sₙ을 계산:
Sₙ = (1/1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + ··· + (1/n − 1/(n+1))

중간 항들이 모두 상쇄된다! (망원급수, Telescoping)

Sₙ = 1 − 1/(n+1)

lim_n→∞ Sₙ = lim_n→∞ (1 − 1/(n+1)) = 1 − 0 = 1

답: 1

급수 수렴의 필요조건

급수가 수렴하기 위해 반드시 만족해야 하는 조건이 있다.

📐 정리 — 급수 수렴의 필요조건

급수 Σaₙ이 수렴하면 반드시   lim_n→∞ aₙ = 0

대우: lim_n→∞ aₙ ≠ 0 이면 급수 Σaₙ은 반드시 발산한다.

⚠️ 역은 성립하지 않는다! — 매우 중요
lim aₙ = 0이라고 해서 급수가 반드시 수렴하는 것은 아니다.

반례: Σ(1/n) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ··· (조화급수)
lim (1/n) = 0 이지만, 이 급수는 발산한다!

→ "lim aₙ = 0"은 수렴을 보장하지 않는다. 충분조건이 아니라 필요조건이다.

급수의 기본 성질

📐 급수의 성질 (두 급수 Σaₙ = A, Σbₙ = B 일 때)

① Σ(aₙ + bₙ) = A + B

② Σ(aₙ − bₙ) = A − B

③ Σ(c·aₙ) = c·A   (c는 상수)

단, 두 급수 모두 수렴할 때만 성립. 발산하는 급수에는 함부로 적용하면 안 됨.

 

3. 등비급수 — 가장 중요한 급수

등비급수란?

첫째항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 합, 즉 a + ar + ar² + ar³ + ··· 꼴의 급수를 등비급수라 한다.

📐 등비급수의 합 — 핵심 공식

Σ_n=1^∞ arⁿ⁻¹ = a + ar + ar² + ··· = a/(1−r)   (단, |r| < 1)

수렴 조건: |r| < 1 (즉, −1 < r < 1, 단 a ≠ 0)
a = 0이면 항상 0에 수렴.

📌 등비급수 공식 유도 — 왜 a/(1−r)인가?

부분합 Sₙ = a + ar + ar² + ··· + arⁿ⁻¹   ···①
①의 양변에 r을 곱하면:
rSₙ = ar + ar² + ··· + arⁿ⁻¹ + arⁿ   ···②
① − ② : Sₙ − rSₙ = a − arⁿ
(1−r)Sₙ = a(1 − rⁿ)
r ≠ 1이면: Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)

|r| < 1이면 n → ∞ 일 때 rⁿ → 0 이므로:
S = lim Sₙ = a(1−0)/(1−r) = a/(1−r)

예제 2   다음 등비급수의 합을 구하여라.

3 + 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ···

💡 힌트: 첫째항과 공비를 확인하고 공식에 대입하자.

풀이

첫째항: a = 3
공비: r = 1/3   (각 항을 이전 항으로 나누면: 1/3 ÷ 1 = 1/3 ✓)

|r| = |1/3| = 1/3 < 1 이므로 수렴.

합 S = a/(1−r) = 3/(1 − 1/3) = 3/(2/3) = 3 × (3/2) = 9/2

답: 9/2

예제 3   다음 급수의 합을 구하여라.

Σ_n=1^∞ 2·(3/4)ⁿ

💡 힌트: 2·(3/4)ⁿ = 2·(3/4)·(3/4)ⁿ⁻¹ 로 변환해서 a와 r을 파악하자.

풀이

Σ 2·(3/4)ⁿ = 2·(3/4) + 2·(3/4)² + 2·(3/4)³ + ···

첫째항: a = 2 × (3/4) = 3/2
공비: r = 3/4

|r| = 3/4 < 1 이므로 수렴.

합 S = (3/2) / (1 − 3/4) = (3/2) / (1/4) = (3/2) × 4 = 6

답: 6

예제 4   다음 급수가 수렴할 조건을 구하고, 수렴할 때의 합을 구하여라.

Σ_n=1^∞ (x−2)ⁿ⁻¹   (x는 실수)

💡 힌트: 첫째항 = 1, 공비 = (x−2). 수렴 조건은 |공비| < 1.

풀이

첫째항: a = 1 (n=1일 때, (x−2)⁰ = 1)
공비: r = x−2

수렴 조건: |r| < 1 → |x−2| < 1
→ −1 < x−2 < 1
→ 1 < x < 3

수렴할 때의 합:
S = a/(1−r) = 1/(1−(x−2)) = 1/(3−x)

답: 수렴 조건: 1 < x < 3 / 합: 1/(3−x)

 

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4. 등비급수의 활용 — 순환소수와 도형

순환소수를 분수로 변환하기

순환소수는 등비급수의 합으로 표현할 수 있다!

예제 5   순환소수 0.333... 을 분수로 나타내어라.

0.3̄ = 0.3333... 을 등비급수로 표현하여 분수로 변환한다.

💡 힌트: 0.333... = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ··· 로 쪼개자.

풀이

0.3̄ = 0.3 + 0.03 + 0.003 + ···

= 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ···

첫째항: a = 3/10, 공비: r = 1/10

|r| = 1/10 < 1 이므로 수렴.

합 = a/(1−r) = (3/10)/(1−1/10) = (3/10)/(9/10) = 3/9 = 1/3

답: 1/3

예제 6   순환소수 0.121212... 를 분수로 나타내어라.

 

💡 힌트: 0.12̄ = 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + ···

풀이

0.1̄2̄ = 0.12 + 0.0012 + 0.000012 + ···

= 12/100 + 12/10000 + 12/1000000 + ···

첫째항: a = 12/100, 공비: r = 1/100

합 = (12/100) / (1 − 1/100) = (12/100) / (99/100) = 12/99 = 4/33

답: 4/33

 

도형에서의 등비급수

예제 7   등비급수와 도형

한 변의 길이가 1인 정사각형이 있다. 이 정사각형의 각 변의 중점을 연결하여 새로운 정사각형을 만들고, 이 과정을 무한히 반복할 때, 모든 정사각형의 넓이의 합을 구하여라.

💡 힌트: 각 단계에서 정사각형의 넓이가 이전의 몇 배인지 파악하자.

풀이

첫 번째 정사각형 넓이: 1² = 1

각 변의 중점을 연결하면 대각선이 이전 정사각형의 한 변이 된다.
새 정사각형의 한 변 = 이전 정사각형 한 변의 1/√2
→ 넓이는 (1/√2)² = 1/2 배

두 번째 정사각형 넓이: 1 × 1/2 = 1/2
세 번째 정사각형 넓이: 1/2 × 1/2 = 1/4
...

첫째항: a = 1, 공비: r = 1/2

전체 합 = a/(1−r) = 1/(1−1/2) = 1/(1/2) = 2

답: 2

 

5. 급수 수렴·발산 — 종합 판정 흐름

헷갈리기 쉬운 포인트 정리

수열 vs 급수 — 수렴 비교

수열 {aₙ}: 각 항 자체가 어디로 수렴하는가?

급수 Σaₙ: 항들의 합(부분합)이 어디로 수렴하는가?

→ 수열이 수렴해도 급수는 발산할 수 있다.

lim aₙ = 0 이 수렴을 보장 못하는 이유

조화급수: Σ(1/n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ···
lim(1/n) = 0이지만 이 급수는 발산!

lim aₙ = 0은 필요조건이지 충분조건이 아니다.

 

6. 종합 예제

종합 예제 1   다음 급수의 수렴·발산을 판정하고, 수렴하면 합을 구하여라.

Σ_n=1^∞ (1/3ⁿ + 2/n(n+1))

💡 힌트: 급수를 둘로 나눠서 각각 처리하자.

풀이

급수를 분리:
Σ(1/3ⁿ + 2/n(n+1)) = Σ(1/3ⁿ) + Σ(2/n(n+1))

① Σ(1/3ⁿ): 등비급수. 첫째항 = 1/3, 공비 = 1/3
합 = (1/3)/(1−1/3) = (1/3)/(2/3) = 1/2

② Σ(2/n(n+1)) = 2·Σ(1/n(n+1))
앞서 구한 Σ(1/n(n+1)) = 1 이므로
2·Σ(1/n(n+1)) = 2×1 = 2

전체 합 = 1/2 + 2 = 5/2

답: 5/2 (수렴)

종합 예제 2   수렴하는 수열 {aₙ}에 대해 다음이 성립한다고 할 때, lim aₙ을 구하여라.

Sₙ = 3n / (n+2)   (Sₙ은 부분합)

💡 힌트: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n≥2) 를 이용한다.

풀이

n ≥ 2 일 때:
aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
= 3n/(n+2) − 3(n−1)/((n−1)+2)
= 3n/(n+2) − 3(n−1)/(n+1)

통분: = [3n(n+1) − 3(n−1)(n+2)] / [(n+2)(n+1)]

분자: 3n(n+1) − 3(n−1)(n+2)
= 3[n²+n − (n²+n−2)]
= 3[n²+n − n²−n+2] = 3·2 = 6

aₙ = 6 / [(n+2)(n+1)]

lim aₙ = lim 6/[(n+2)(n+1)] = 0

답: 0

📌 핵심 정리

• 부분합 Sₙ: 수열 {aₙ}의 첫째항부터 n번째 항까지의 합
• 급수(무한급수): Σaₙ = a₁ + a₂ + ··· 수렴 여부는 lim Sₙ으로 판정
• 급수 수렴: lim Sₙ = S (실수) / 급수 발산: lim Sₙ이 존재하지 않음
• 수렴의 필요조건: Σaₙ 수렴 → lim aₙ = 0 (역은 성립 안 함!)
• 조화급수: Σ(1/n)은 lim(1/n)=0이지만 발산. 역의 반례
• 등비급수 합: Σarⁿ⁻¹ = a/(1−r), 단 |r| < 1
• 등비급수 수렴 조건: a=0 이거나 |r| < 1
• 순환소수 → 분수: 등비급수로 표현 후 합 공식 적용
• 망원급수: 부분분수 분해 → 중간 항 상쇄 → 부분합 간단화
• aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ (n≥2): 부분합이 주어졌을 때 일반항 구하는 공식

▶ 1편(수열의 수렴·발산·극한 계산) → 2편(급수·등비급수) 순서로 읽으면 수열의 극한 전체 내용이 완성된다.