[미분법] 삼각함수·지수·로그·합성함수 미분 — 핵심 공식과 예제 완전 정복

1편에서 미분의 정의와 다항함수 미분을 배웠다.
이번 2편에서는 범위가 크게 늘어난다. 삼각함수, 지수함수, 로그함수의 미분 공식과, 복잡한 함수를 미분하는 핵심 도구인 합성함수 미분법, 음함수 미분법, 매개변수 미분법까지 다룬다.

1. 삼각함수의 미분

핵심 공식 — 반드시 암기

📐 삼각함수 미분 공식

함수	도함수
(sin x)'	cos x
(cos x)'	−sin x
(tan x)'	sec²x = 1/cos²x

💡 삼각함수 미분 공식 유도 — sin x의 경우
f'(x) = lim_h→0 [sin(x+h) − sin x] / h
= lim_h→0 [sin x cos h + cos x sin h − sin x] / h
= sin x · lim(cos h − 1)/h + cos x · lim(sin h)/h

기본 극한 공식:   lim_h→0 (sin h)/h = 1,   lim_h→0 (cos h − 1)/h = 0

따라서 f'(x) = sin x · 0 + cos x · 1 = cos x

예제 1   삼각함수 미분

다음 함수를 미분하여라.

(1) f(x) = 3sin x + 2cos x    (2) f(x) = sin x · cos x

풀이

(1) f'(x) = 3cos x − 2sin x

(2) 곱의 미분법 이용:
f'(x) = (sin x)'·cos x + sin x·(cos x)'
= cos x·cos x + sin x·(−sin x)
= cos²x − sin²x = cos 2x

답: (1) 3cos x − 2sin x   (2) cos 2x

 

2. 지수함수와 로그함수의 미분

📐 지수·로그 미분 공식 — 암기 필수

함수	도함수	조건
(eˣ)'	eˣ	e: 자연상수
(aˣ)'	aˣ ln a	a > 0, a ≠ 1
(ln x)'	1/x	x > 0
(log_a x)'	1/(x ln a)	a > 0, a ≠ 1, x > 0

💡 eˣ 의 미분이 eˣ인 이유
자연상수 e는 lim_h→0(1+h)^(1/h) = e 로 정의된다.
이 정의로부터 lim_h→0(eʰ−1)/h = 1 이 성립하고,
(eˣ)' = eˣ · lim_h→0(eʰ−1)/h = eˣ · 1 = eˣ
→ eˣ는 미분해도 자기 자신! 유일한 함수.

예제 2   지수·로그 함수 미분

다음 함수를 미분하여라.

(1) f(x) = 2eˣ + 3ˣ    (2) f(x) = x·ln x

풀이

(1) f'(x) = 2eˣ + 3ˣ ln 3

(2) 곱의 미분법:
f'(x) = (x)'·ln x + x·(ln x)'
= 1·ln x + x·(1/x)
= ln x + 1 = ln x + 1

답: (1) 2eˣ + 3ˣ ln 3   (2) ln x + 1

 

3. 합성함수의 미분법 — 연쇄법칙 (Chain Rule)

f(g(x))처럼 함수 안에 함수가 들어 있는 합성함수를 미분할 때 사용한다. "바깥 미분 × 안 미분" 이라는 직관으로 기억하면 쉽다.

📐 합성함수 미분법 (Chain Rule)

y = f(g(x)) 이면   y' = f'(g(x)) · g'(x)

Leibniz 표기: dy/dx = (dy/du) · (du/dx)   (u = g(x)로 치환)

쉬운 기억법: "바깥 함수 미분 × 안쪽 함수 미분"

예제 3   합성함수 미분법 (기본)

다음 함수를 미분하여라.

(1) y = (3x² + 1)⁵    (2) y = sin(2x + 1)

💡 바깥 = 거듭제곱 or sin, 안 = 괄호 안 식

풀이

(1) u = 3x²+1로 놓으면 y = u⁵
dy/du = 5u⁴,   du/dx = 6x
y' = 5(3x²+1)⁴ · 6x = 30x(3x²+1)⁴

(2) u = 2x+1로 놓으면 y = sin u
dy/du = cos u,   du/dx = 2
y' = cos(2x+1) · 2 = 2cos(2x+1)

답: (1) 30x(3x²+1)⁴   (2) 2cos(2x+1)

예제 4   합성함수 미분법 (응용)

다음 함수를 미분하여라.

(1) y = e^(x²+1)    (2) y = ln(sin x)

풀이

(1) 바깥: e^□, 안: x²+1
y' = e^(x²+1) · (x²+1)' = e^(x²+1) · 2x = 2x·e^(x²+1)

(2) 바깥: ln(□), 안: sin x
y' = (1/sin x) · (sin x)' = (1/sin x) · cos x = cos x / sin x = cot x

답: (1) 2x·e^(x²+1)   (2) cot x

📌 합성함수 미분 — 공식 패턴 정리
(f(ax+b))' = a·f'(ax+b)
(f(x)ⁿ)' = n·f(x)ⁿ⁻¹ · f'(x)
(e^f(x))' = e^f(x) · f'(x)
(ln f(x))' = f'(x)/f(x)   (단, f(x)>0)

 

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4. 음함수의 미분법

지금까지는 y = f(x)처럼 y가 x로만 표현된 경우였다. x² + y² = 1처럼 x와 y가 뒤섞여 있어서 y를 x만으로 풀기 어려운 경우를 음함수(implicit function)라 한다. 이 경우 양변을 x로 미분할 때 y도 x의 함수로 보고 미분한다.

📐 음함수 미분법

음함수 F(x, y) = 0 을 x에 대해 미분할 때,
y를 x의 함수로 보고 합성함수 미분법을 적용한다.

핵심: (y²)' = 2y · y'  ,  (y³)' = 3y² · y'   (y를 x의 합성함수로 처리)

예제 5   음함수 미분법

x² + y² = 5 일 때, dy/dx 를 구하여라.

💡 양변을 x에 대해 미분한다. y를 x의 함수로 보자.

풀이

양변을 x에 대해 미분:
(x²)' + (y²)' = (5)'
2x + 2y·(dy/dx) = 0

dy/dx 로 정리:
2y·(dy/dx) = −2x
dy/dx = −x/y   (단, y ≠ 0)

답: dy/dx = −x/y

예제 6   음함수 미분 — 접선의 기울기

x³ + y³ = 2xy 에서 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기를 구하여라.

풀이

양변을 x에 대해 미분:
3x² + 3y²·y' = 2y + 2x·y'

y'에 대해 정리:
3y²·y' − 2x·y' = 2y − 3x²
y'(3y² − 2x) = 2y − 3x²
y' = (2y − 3x²) / (3y² − 2x)

x=1, y=1 대입:
y' = (2·1 − 3·1) / (3·1 − 2·1) = (2−3)/(3−2) = −1

답: −1

 

5. 매개변수로 나타낸 함수의 미분법

x = f(t), y = g(t)처럼 x와 y가 모두 제3의 변수 t(매개변수)로 표현된 경우, dy/dx를 어떻게 구하는가?

📐 매개변수 미분법

x = f(t), y = g(t) 로 나타낸 함수에서:

dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = g'(t) / f'(t)   (단, f'(t) ≠ 0)

연쇄법칙: dy/dx = (dy/dt) · (dt/dx) 에서 dt/dx = 1/(dx/dt) 이용

예제 7   매개변수 미분

x = t² − 1, y = 2t + 3 일 때, dy/dx 를 구하여라.

풀이

dx/dt = 2t
dy/dt = 2

dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = 2 / (2t) = 1/t   (단, t ≠ 0)

답: dy/dx = 1/t

예제 8   매개변수 미분 — 접선

x = cos t, y = sin t 일 때, t = π/4 에서의 접선의 기울기를 구하여라.

풀이

dx/dt = −sin t
dy/dt = cos t

dy/dx = cos t / (−sin t) = −cot t

t = π/4 대입:
dy/dx = −cot(π/4) = −1/tan(π/4) = −1/1 = −1

답: −1

 

6. 로그 미분법 — 복잡한 함수를 쉽게

y = (f(x))^g(x) 처럼 지수에도 x가 있는 함수나, 여러 함수의 곱·나눗셈으로 된 복잡한 함수는 양변에 로그를 취하면 미분이 쉬워진다.

예제 9   로그 미분법

y = xˣ (x > 0) 을 미분하여라.

💡 힌트: 양변에 자연로그를 취한다. ln y = x ln x

풀이

양변에 자연로그 취하기:
ln y = ln xˣ = x ln x

양변을 x에 대해 미분 (y는 x의 함수):
(1/y) · y' = 1·ln x + x·(1/x) = ln x + 1

y' = y(ln x + 1) = xˣ(ln x + 1)

답: y' = xˣ(ln x + 1)

📌 핵심 정리

• (sin x)' = cos x  |  (cos x)' = −sin x  |  (tan x)' = sec²x
• (eˣ)' = eˣ  |  (aˣ)' = aˣ ln a
• (ln x)' = 1/x  |  (log_a x)' = 1/(x ln a)
• 합성함수 미분: y = f(g(x)) → y' = f'(g(x))·g'(x) ("바깥 미분 × 안 미분")
• (e^f(x))' = e^f(x)·f'(x)  |  (ln f(x))' = f'(x)/f(x)
• 음함수 미분: 양변을 x로 미분, y를 x의 함수로 보고 합성함수 미분 적용
• (y²)' = 2y·y'  |  (y³)' = 3y²·y'
• 매개변수 미분: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
• 로그 미분법: 양변에 ln 취하고 음함수 미분 적용 → 지수에 x 있는 함수에 유용

▶ 3편에서는 도함수의 활용(접선·법선의 방정식, 극값, 증감표)을 다룬다.