[미분법] 접선의 방정식·극값·증감 — 도함수 활용 총정리

1편에서 미분의 정의와 기본 공식, 2편에서 다양한 함수의 미분법을 배웠다.
이번 3편은 미분의 실전 활용이다.
접선과 법선의 방정식, 함수의 극값, 증감표까지 수능과 내신에 가장 자주 나오는 내용만 골라서 예제와 함께 정리한다.

1. 접선과 법선의 방정식

접선의 방정식

곡선 y = f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선은, 기울기가 f'(a)이고 점 (a, f(a))를 지나는 직선이다.

📐 접선의 방정식

y − f(a) = f'(a)(x − a)

순서: ① x = a에서의 미분계수 f'(a) 계산 → ② 점(a, f(a)) 확인 → ③ 공식 대입

법선의 방정식

법선(normal line)은 접선과 수직인 직선이다. 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 −1이므로, 법선의 기울기 = −1/f'(a) (단, f'(a) ≠ 0)

법선의 방정식:   y − f(a) = −1/f'(a) · (x − a)

단, f'(a) = 0이면 법선은 x = a (수직선)

예제 1   접선의 방정식

곡선 y = x³ − 2x + 1 위의 점 (2, 5)에서의 접선의 방정식을 구하여라.

💡 먼저 f'(x)를 구한 뒤 x=2를 대입해서 기울기를 찾자.

풀이

f(x) = x³ − 2x + 1
f'(x) = 3x² − 2

x = 2에서의 기울기: f'(2) = 3·4 − 2 = 10

점 (2, 5)를 지나고 기울기 10인 직선:
y − 5 = 10(x − 2)
y = 10x − 20 + 5
y = 10x − 15

답: y = 10x − 15

예제 2   기울기가 주어진 접선

곡선 y = x³ − 3x² + 2 에서 기울기가 9인 접선의 방정식을 구하여라.

💡 f'(x) = 9를 먼저 풀어서 접점의 x좌표를 찾자.

풀이

f'(x) = 3x² − 6x

기울기 조건: 3x² − 6x = 9
3x² − 6x − 9 = 0
x² − 2x − 3 = 0
(x−3)(x+1) = 0
x = 3 또는 x = −1

x = 3: f(3) = 27 − 27 + 2 = 2  →  접점 (3, 2)
접선: y − 2 = 9(x − 3) → y = 9x − 25

x = −1: f(−1) = −1 − 3 + 2 = −2  →  접점 (−1, −2)
접선: y + 2 = 9(x + 1) → y = 9x + 7

답: y = 9x − 25 또는 y = 9x + 7

예제 3   외부 점에서 그은 접선

곡선 y = x² 위의 점에서 점 (0, −1)을 지나는 접선의 방정식을 구하여라.

💡 접점을 (t, t²)으로 놓고 접선이 (0, −1)을 지나는 조건을 이용.

풀이

접점을 (t, t²)으로 놓으면:
f'(x) = 2x 이므로 접선의 기울기 = 2t

접선의 방정식: y − t² = 2t(x − t)
y = 2tx − t²

이 직선이 (0, −1)을 지나므로:
−1 = 2t·0 − t² = −t²
t² = 1 → t = 1 또는 t = −1

t = 1: 접선 y = 2x − 1
t = −1: 접선 y = −2x − 1

답: y = 2x − 1 또는 y = −2x − 1

 

2. 함수의 증가와 감소

📐 도함수와 증가·감소의 관계

구간에서 f'(x) > 0 → f(x)는 그 구간에서 증가

구간에서 f'(x) < 0 → f(x)는 그 구간에서 감소

f'(x) = 0 → 증가·감소가 바뀌는 후보 지점 (극값 후보)

3. 함수의 극값 — 극대와 극소

📐 극값의 정의

x = a의 좌우에서 f'(x)의 부호가

· 양 → 음 (+ → −) 으로 바뀌면: x = a에서 극대, 극댓값 f(a)

· 음 → 양 (− → +) 으로 바뀌면: x = a에서 극소, 극솟값 f(a)

· 부호가 바뀌지 않으면: 극값 없음

⚠️ f'(a) = 0이라고 극값이 있는 것은 아니다!
f(x) = x³ 에서 f'(0) = 0 이지만 x = 0은 극값이 아니다.
x = 0 좌우에서 f'(x) = 3x² ≥ 0 이므로 부호가 바뀌지 않기 때문.
→ 반드시 부호 변화를 증감표로 확인해야 한다.

증감표 그리기

f'(x) = 0이 되는 x값을 기준으로 구간을 나눠, 각 구간에서 f'(x)의 부호와 f(x)의 증감을 표로 나타낸 것이 증감표다.

예제 4   증감표와 극값

f(x) = x³ − 3x² − 9x + 5 의 극값을 구하여라.

풀이

f'(x) = 3x² − 6x − 9 = 3(x² − 2x − 3) = 3(x−3)(x+1)

f'(x) = 0: x = −1 또는 x = 3

x	···	−1	···	3	···
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	극대	↘	극소	↗

극댓값: f(−1) = (−1)³ − 3(1) − 9(−1) + 5 = −1 − 3 + 9 + 5 = 10
극솟값: f(3) = 27 − 27 − 27 + 5 = −22

답: 극댓값 10 (x=−1에서), 극솟값 −22 (x=3에서)

예제 5   삼각함수의 극값

f(x) = 2sin x − x (0 ≤ x ≤ 2π)의 극값을 구하여라.

풀이

f'(x) = 2cos x − 1

f'(x) = 0: cos x = 1/2 → x = π/3 또는 x = 5π/3 (0≤x≤2π에서)

0 < x < π/3: cos x > 1/2 → f'(x) > 0 (증가)
π/3 < x < 5π/3: cos x < 1/2 → f'(x) < 0 (감소)
5π/3 < x < 2π: cos x > 1/2 → f'(x) > 0 (증가)

극댓값: f(π/3) = 2·(√3/2) − π/3 = √3 − π/3
극솟값: f(5π/3) = 2·(1/2) − 5π/3 = 1 − 5π/3

답: 극댓값 √3−π/3, 극솟값 1−5π/3

 

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4. 고차 도함수

도함수 f'(x)를 다시 미분한 것이 이계도함수 f''(x), 그것을 또 미분하면 삼계도함수 f'''(x)이다.

📐 고차 도함수 표기

f''(x) = (f'(x))' = d²y/dx²   (이계도함수)

f'''(x) = (f''(x))' = d³y/dx³   (삼계도함수)

f⁽ⁿ⁾(x) = dⁿy/dxⁿ   (n계 도함수)

📌 이계도함수의 의미 — 볼록·오목
f''(x) > 0 인 구간: 아래로 볼록 (위로 오목, 기울기 증가)
f''(x) < 0 인 구간: 위로 볼록 (아래로 오목, 기울기 감소)
f''(x) = 0 이고 부호가 바뀌는 점: 변곡점 (inflection point)

예제 6   고차 도함수

f(x) = x⁴ − 2x³ + x 에 대해 f''(x)와 f''(1)을 구하여라.

풀이

f'(x) = 4x³ − 6x² + 1
f''(x) = 12x² − 12x = 12x(x−1)

f''(1) = 12·1·(1−1) = 0

→ x = 0, x = 1에서 f''(x) = 0 → 변곡점 후보

답: f''(x) = 12x²−12x, f''(1) = 0

 

5. 종합 예제 — 수능·내신 유형

종합 예제 1   극값 조건으로 계수 구하기

f(x) = x³ + ax² + bx + 1 이 x = 1에서 극소, x = −1에서 극대를 가질 때, 상수 a, b의 값을 구하여라.

💡 힌트: x=1, x=−1이 f'(x)=0의 근이다.

풀이

f'(x) = 3x² + 2ax + b

x=1, x=−1에서 f'(x)=0이므로:
f'(x) = 3(x−1)(x+1) = 3(x²−1) = 3x² − 3

2ax + b = −3 (계수 비교): 2a=0, b=−3
a = 0, b = −3

검증: f'(x) = 3x²−3
x < −1: f'>0 (증가), x=−1: f'=0 극대 ✓
−1 < x < 1: f'<0 (감소), x=1: f'=0 극소 ✓

답: a = 0, b = −3

종합 예제 2   방정식 f(x) = k의 실근 개수

f(x) = x³ − 3x 의 그래프를 이용해서 방정식 x³ − 3x = k 의 실근 개수를 k의 값에 따라 구하여라.

💡 힌트: y = f(x)의 그래프와 y = k(수평선)의 교점 수가 실근 수다.

풀이

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1) = 0 → x = ±1

증감표:

x	···	−1	···	1	···
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	극대 2	↘	극소 −2	↗

f(−1) = −1+3 = 2 (극대), f(1) = 1−3 = −2 (극소)

y=k (수평선)와의 교점 수:
k < −2: 교점 1개 → 실근 1개
k = −2: 교점 2개 → 실근 2개
−2 < k < 2: 교점 3개 → 실근 3개
k = 2: 교점 2개 → 실근 2개
k > 2: 교점 1개 → 실근 1개

답: k < −2 또는 k > 2: 1개 / k = ±2: 2개 / −2 < k < 2: 3개

종합 예제 3   속도와 가속도 (미분의 물리적 응용)

수직선 위를 움직이는 점 P의 위치 x가 시각 t에서
x = t³ − 6t² + 9t + 2 일 때,
(1) t = 2에서의 속도와 가속도를 구하여라.
(2) 점 P가 운동 방향을 바꾸는 시각을 구하여라.

풀이

속도: v = dx/dt = 3t² − 12t + 9
가속도: a = dv/dt = 6t − 12

(1) t = 2:
v = 3·4 − 12·2 + 9 = 12 − 24 + 9 = −3
a = 6·2 − 12 = 0

(2) 운동 방향을 바꾸는 순간: v = 0
3t² − 12t + 9 = 0 → t² − 4t + 3 = 0
(t−1)(t−3) = 0 → t = 1 또는 t = 3

t < 1: v > 0 (양의 방향)
1 < t < 3: v < 0 (음의 방향)
t > 3: v > 0 (다시 양의 방향)

→ 방향이 바뀌는 시각: t = 1, t = 3

답: (1) 속도 −3, 가속도 0   (2) t=1, t=3

📌 핵심 정리

• 접선의 방정식: y − f(a) = f'(a)(x − a). 기울기 = f'(a)
• 법선의 방정식: 기울기 = −1/f'(a). 접선과 수직
• 기울기가 주어진 접선: f'(x) = k 풀어 접점 x좌표 → 방정식 완성
• 외부 점에서의 접선: 접점을 (t, f(t))로 놓고 조건 이용
• f'(x) > 0 → 증가 / f'(x) < 0 → 감소
• 극대: f'(x)가 양→음으로 부호 변화 / 극소: 음→양
• f'(a) = 0이어도 극값 없을 수 있다 (부호 불변 시)
• 증감표: f'(x)=0인 점을 기준으로 구간별 부호 확인
• f''(x) > 0: 아래로 볼록 / f''(x) < 0: 위로 볼록
• 변곡점: f''(x)=0이고 볼록 방향이 바뀌는 점
• 속도 v = x' / 가속도 a = v' = x''
• 방정식 f(x) = k의 실근 수: y = f(x)와 y = k의 교점 수