[적분법] 정적분 완전 정복 — 정의·성질·계산법 총정리

1편에서는 "어떤 함수를 미분하면 f(x)가 되는가"를 구하는 부정적분을 배웠다.
이번 2편에서는 정적분으로 넘어간다. 정적분은 단순히 넓이를 구하는 도구가 아니라, 미분과 적분을 연결하는 미적분학의 기본 정리를 통해 계산한다.
정의·성질·계산법과 정적분에서의 치환·부분적분까지 정리한다.

1. 정적분의 정의 — 리만 합

정적분은 곡선 y = f(x)와 x축 사이의 넓이를 극한으로 정의한 것이다. 구간 [a, b]를 n등분하고 각 소구간에서 직사각형의 넓이의 합(리만 합)을 구한 뒤, n → ∞ 극한을 취한다.

 

📐 정적분의 정의

∫_a^b f(x)dx = lim_n→∞ Σ_k=1ⁿ f(xₖ*)·Δx

a: 아래 끝(하한), b: 위 끝(상한), f(x): 피적분함수

특별한 경우:
∫_a^a f(x)dx = 0  |  ∫_b^a f(x)dx = −∫_a^b f(x)dx

💡 정적분과 넓이의 관계
f(x) ≥ 0인 구간에서 ∫_a^bf(x)dx = x축과 곡선 사이의 넓이
f(x) < 0인 구간에서 정적분값은 음수 → 넓이는 절댓값을 취해야 한다.
정적분 ≠ 넓이 (일반적으로). 넓이는 항상 양수!

 

2. 미적분학의 기본 정리 — 정적분 계산의 핵심

매번 리만 합의 극한으로 정적분을 계산하면 너무 어렵다. 미적분학의 기본 정리가 이 계산을 획기적으로 쉽게 만든다.

📐 미적분학의 기본 정리 (Newton-Leibniz 공식)

F'(x) = f(x)이면 (F(x)가 f(x)의 원시함수이면)

∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a) = [F(x)]_a^b

즉, 원시함수의 양 끝 값의 차이가 정적분값이다!

💡 이 정리가 왜 위대한가?
극한 계산(리만 합) 없이 원시함수만 알면 정적분을 구할 수 있다.
이는 미분과 적분이 서로 역연산이라는 사실을 정확히 담고 있다.
부정적분(1편)을 잘 배워야 정적분 계산이 가능한 이유다.

예제 1   기본 정리로 정적분 계산

다음을 구하여라.

(1) ∫₁³ (2x + 1)dx    (2) ∫₀^π/2 cos x dx

풀이

(1) F(x) = x² + x 로 놓으면
[x² + x]₁³ = (9+3) − (1+1) = 12 − 2 = 10

(2) F(x) = sin x 로 놓으면
[sin x]₀^π/2 = sin(π/2) − sin(0) = 1 − 0 = 1

답: (1) 10   (2) 1

 

3. 정적분의 성질

📐 정적분의 기본 성질

① ∫_a^b [f(x) ± g(x)]dx = ∫_a^bf(x)dx ± ∫_a^bg(x)dx

② ∫_a^b k·f(x)dx = k·∫_a^bf(x)dx

③ ∫_a^bf(x)dx + ∫_b^cf(x)dx = ∫_a^cf(x)dx   (구간 분할)

④ ∫_a^af(x)dx = 0

⑤ ∫_b^af(x)dx = −∫_a^bf(x)dx

우함수·기함수의 적분 — 계산 단축

📐 대칭 구간에서의 적분

우함수 f(−x) = f(x) 이면: ∫_−a^af(x)dx = 2∫₀^af(x)dx

기함수 f(−x) = −f(x) 이면: ∫_−a^af(x)dx = 0

우함수: xⁿ(n 짝수), cos x, |x| 등  |  기함수: xⁿ(n 홀수), sin x, tan x 등

예제 2   우함수·기함수 성질 활용

다음을 구하여라.

(1) ∫₋₂² (x³ + 3x²)dx    (2) ∫_−π^π (x²cos x + sin x)dx

💡 피적분함수를 우함수·기함수 부분으로 분리하자.

풀이

(1) x³ 은 기함수, 3x² 은 우함수
∫₋₂²x³dx = 0
∫₋₂²3x²dx = 2∫₀²3x²dx = 2[x³]₀² = 2·8 = 16
→ 합: 0 + 16 = 16

(2) x²cos x: x²(우) × cos x(우) = 우함수
sin x: 기함수
→ ∫_−π^πx²cos x dx = 2∫₀^πx²cos x dx
→ ∫_−π^πsin x dx = 0
∫₀^πx²cos x dx: 부분적분 2회 필요 (복잡하므로 생략)
전체 = 2∫₀^πx²cos x dx + 0

답: (1) 16

 

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4. 절댓값을 포함한 정적분

|f(x)|처럼 절댓값이 있으면 f(x)의 부호에 따라 구간을 나눠서 계산한다. 절댓값 안이 양수이면 그대로, 음수이면 부호를 바꾼다.

예제 3   절댓값 포함 정적분

∫₀³ |x − 1| dx 를 구하여라.

💡 힌트: x=1을 기준으로 구간을 나눈다. x<1이면 x−1<0, x>1이면 x−1>0

풀이

0 ≤ x < 1: x−1 < 0 이므로 |x−1| = −(x−1) = 1−x
1 ≤ x ≤ 3: x−1 ≥ 0 이므로 |x−1| = x−1

∫₀³|x−1|dx = ∫₀¹(1−x)dx + ∫₁³(x−1)dx

= [x − x²/2]₀¹ + [x²/2 − x]₁³
= (1 − 1/2) + [(9/2 − 3) − (1/2 − 1)]
= 1/2 + [3/2 + 1/2] = 1/2 + 2 = 5/2

답: 5/2

 

5. 정적분에서의 치환적분

정적분에서 치환할 때는 적분 범위(상한·하한)도 함께 바꿔야 한다. 이것이 부정적분의 치환과 가장 다른 점이다.

📐 정적분에서의 치환적분

t = g(x)로 놓으면 dt = g'(x)dx이고

x = a → t = g(a),   x = b → t = g(b) 로 범위 변환

∫_a^b f(g(x))·g'(x)dx = ∫_g(a)^g(b) f(t)dt

예제 4   정적분에서의 치환적분

∫₀² x√(x²+1) dx 를 구하여라.

💡 t = x²+1로 치환. x=0 → t=1, x=2 → t=5

풀이

t = x²+1 로 놓으면 dt = 2x dx, x dx = dt/2
x = 0 → t = 1,   x = 2 → t = 5

∫₀²x√(x²+1)dx = ∫₁⁵√t · (dt/2)
= (1/2)∫₁⁵t^(1/2) dt
= (1/2)[t^(3/2) / (3/2)]₁⁵
= (1/3)[t^(3/2)]₁⁵
= (1/3)(5√5 − 1) = (5√5 − 1)/3

답: (5√5−1)/3

 

6. 정적분에서의 부분적분

📐 정적분에서의 부분적분

∫_a^b f(x)g'(x)dx = [f(x)g(x)]_a^b − ∫_a^b f'(x)g(x)dx

치환과 달리 적분 범위를 바꾸지 않는다.

예제 5   정적분에서의 부분적분

∫₁^e ln x dx 를 구하여라.

풀이

u = ln x, v' = 1 로 놓으면 u' = 1/x, v = x

∫₁^eln x dx = [x·ln x]₁^e − ∫₁^ex·(1/x)dx
= [x·ln x]₁^e − ∫₁^e1 dx
= (e·1 − 1·0) − [x]₁^e
= e − (e − 1) = 1

답: 1

 

7. 정적분과 미분의 관계

📐 정적분을 미분하면?

d/dx ∫_a^x f(t)dt = f(x)

F(x) = ∫_a^xf(t)dt 로 놓으면 F'(x) = f(x)
→ 위 끝이 x이고 아래 끝이 상수인 정적분을 x로 미분하면 피적분함수에 x를 대입

예제 6   정적분과 미분

다음을 구하여라.

(1) d/dx ∫₀^x (t²+sin t)dt

(2) d/dx ∫₁^x² e^t dt

💡 (2)번은 위 끝이 x²이다. 합성함수 미분법 주의!

풀이

(1) d/dx ∫₀^x(t²+sin t)dt = x² + sin x

(2) F(x) = ∫₁^xe^t dt 로 놓으면 F'(x) = eˣ
∫₁^x²e^t dt = F(x²) 이므로
d/dx F(x²) = F'(x²)·2x = e^(x²)·2x = 2x·e^(x²)

답: (1) x²+sin x   (2) 2x·e^(x²)

종합 예제   정적분이 포함된 방정식

∫₀^x f(t)dt = 2x² − x 가 성립할 때, f(1)을 구하여라.

💡 양변을 x로 미분하면 f(x)를 구할 수 있다.

풀이

양변을 x로 미분:
f(x) = 4x − 1

f(1) = 4·1 − 1 = 3

[검증] x=0 대입: ∫₀⁰f(t)dt = 0 = 2·0−0 ✓

답: 3

📌 핵심 정리

• 정적분: 리만 합의 극한. 기하적으로는 곡선과 x축 사이의 (부호 있는) 넓이
• 기본 정리: ∫_a^bf(x)dx = F(b)−F(a) (F'=f)
• 구간 분할: ∫_a^b + ∫_b^c = ∫_a^c
• 우함수: ∫_−a^a = 2∫₀^a / 기함수: ∫_−a^a = 0
• 절댓값 포함: 부호 변환점에서 구간 분리 후 계산
• 치환적분 (정적분): t=g(x) 놓을 때 범위도 변환
• 부분적분 (정적분): [uv]_a^b − ∫_a^bu'v dx
• d/dx ∫_a^xf(t)dt = f(x)
• 위 끝이 g(x): d/dx ∫_a^g(x)f(t)dt = f(g(x))·g'(x)

▶ 3편에서는 정적분의 활용 — 넓이·부피·속도·거리를 다룬다.