[함수의 극한과 연속] 함수의 극한 완전 정복 — 극한값 계산부터 부정형까지

미적분은 극한(Limit)이라는 개념 위에 세워진다.
x가 어떤 값에 가까워질 때 함수값이 어떻게 변하는가?
이 단순한 질문이 미분과 적분의 출발점이며, 수학의 가장 강력한 도구를 만들어낸다.
이번 글에서는 함수의 극한의 정의부터 계산법, 핵심 성질까지 예제와 함께 완전히 정리한다.

1. 함수의 극한이란? — 가까워지는 것을 수학으로

핵심 아이디어

f(x) = x + 1 이라는 함수에서 x가 2에 가까워지면 f(x)는 3에 가까워진다. 이것은 너무 당연해 보인다. 그냥 x = 2를 대입하면 되니까.

그런데 f(x) = (x² − 4)/(x − 2) 라면? x = 2를 대입하면 0/0으로 정의가 안 된다. 하지만 x가 2에 한없이 가까워질 때 f(x)는 어떤 값에 가까워질까? 이것이 극한이 필요한 이유다.

 

📐 함수의 극한 — 정의

함수 f(x)에서 x가 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)가 일정한 값 L에 한없이 가까워지면

lim_x→a f(x) = L

이라 쓰고 "x → a일 때 f(x)의 극한값은 L이다" 또는 "f(x)는 L에 수렴한다"고 한다.

핵심: x = a에서 f(a)의 값은 극한값과 무관하다! x가 a에 가까워지는 과정을 보는 것이다.

⚠️ 극한값 ≠ 함수값 — 가장 흔한 오해
lim_x→a f(x) = L 은 x = a일 때 f(a) = L이라는 뜻이 아니다.
심지어 f(a)가 정의조차 안 돼도 극한값은 존재할 수 있다.
→ x가 a에 가까워지는 과정에서 f(x)의 변화를 보는 것이다.

 

2. 좌극한과 우극한 — 방향을 구분하다

x가 a에 가까워지는 방향이 두 가지 있다. 왼쪽(작은 값)에서 오는 경우와 오른쪽(큰 값)에서 오는 경우다.

📐 좌극한과 우극한

좌극한: x가 a보다 작은 값에서 a에 가까워질 때의 극한

lim_x→a⁻ f(x) = L₁

우극한: x가 a보다 큰 값에서 a에 가까워질 때의 극한

lim_x→a⁺ f(x) = L₂

극한값 존재 조건: 좌극한 = 우극한 (L₁ = L₂ = L)

좌극한 ≠ 우극한이면 극한값 존재하지 않음 (발산)

예제 1   좌극한·우극한으로 극한 판정

f(x) = |x−1|/(x−1) 에서 lim_x→1 f(x)가 존재하는지 판단하여라.

💡 힌트: x < 1일 때와 x > 1일 때 |x−1|의 식이 달라진다.

풀이

x < 1 이면 x−1 < 0 이므로 |x−1| = −(x−1)
f(x) = −(x−1)/(x−1) = −1
→ 좌극한: lim_x→1⁻ f(x) = −1

x > 1 이면 x−1 > 0 이므로 |x−1| = x−1
f(x) = (x−1)/(x−1) = 1
→ 우극한: lim_x→1⁺ f(x) = 1

좌극한(−1) ≠ 우극한(1) → 극한 존재하지 않음

답: 극한값이 존재하지 않는다.

 

3. 극한의 성질 — 계산의 기반

📐 함수의 극한에 관한 성질

lim_x→a f(x) = L, lim_x→a g(x) = M 이면

① lim [f(x) ± g(x)] = L ± M   (합·차)

② lim [k·f(x)] = kL   (상수배)

③ lim [f(x)·g(x)] = L·M   (곱)

④ lim [f(x)/g(x)] = L/M   (단, M ≠ 0)   (몫)

⑤ lim [f(x)]ⁿ = Lⁿ   (거듭제곱, n은 양의 정수)

💡 다항함수와 유리함수의 극한
다항함수: lim_x→a f(x) = f(a) (그냥 대입하면 된다!)
→ f(x) = x² + 3x 이면 lim_x→2 f(x) = 4 + 6 = 10

유리함수: 분모가 0이 아니면 대입, 0이 되면 인수분해나 유리화 필요
→ lim_x→a p(x)/q(x) = p(a)/q(a) (단, q(a) ≠ 0)

예제 2   극한의 성질 활용

lim_x→2 (3x² − 2x + 1) 을 구하여라.

풀이

다항함수이므로 x = 2를 직접 대입:
= 3·(4) − 2·(2) + 1 = 12 − 4 + 1 = 9

답: 9

 

반응형

 

4. 부정형의 극한 — 계산의 핵심

lim_x→a f(x)/g(x)에서 f(a) = g(a) = 0 이 되면 0/0 꼴이 된다. 이것을 부정형(不定形)이라 한다. 이런 경우 분자·분모를 변형해서 0이 되는 공통 인수를 약분한 뒤 계산한다.

유형 1: 0/0 꼴 — 인수분해로 약분

예제 3   0/0 꼴 — 인수분해

lim_x→2 (x²−x−2)/(x−2) 를 구하여라.

💡 분자를 인수분해하면 (x−2)를 약분할 수 있다.

풀이

x=2를 대입하면 0/0 꼴 → 인수분해

x²−x−2 = (x−2)(x+1) 이므로

lim_x→2 (x−2)(x+1)/(x−2)
= lim_x→2 (x+1)   (x≠2이므로 약분 가능)
= 2+1 = 3

답: 3

예제 4   0/0 꼴 — 분자 인수분해

lim_x→−1 (x³+1)/(x+1) 을 구하여라.

💡 힌트: x³+1 = (x+1)(x²−x+1) (합의 공식)

풀이

x=−1 대입 시 0/0 꼴
x³+1 = (x+1)(x²−x+1) 이므로

lim_x→−1 (x+1)(x²−x+1)/(x+1)
= lim_x→−1 (x²−x+1)
= 1+1+1 = 3

답: 3

유형 2: 0/0 꼴 — 분모·분자 유리화

루트가 포함된 경우 켤레식을 곱해서 루트를 없앤다.

예제 5   0/0 꼴 — 유리화

lim_x→3 (√(x+1)−2)/(x−3) 을 구하여라.

💡 분자에 켤레식 (√(x+1)+2)를 분자·분모에 곱한다.

풀이

x=3 대입 시 0/0 꼴
분자·분모에 (√(x+1)+2)를 곱한다:

= lim_x→3 (√(x+1)−2)(√(x+1)+2) / [(x−3)(√(x+1)+2)]
= lim_x→3 [(x+1)−4] / [(x−3)(√(x+1)+2)]
= lim_x→3 (x−3) / [(x−3)(√(x+1)+2)]
= lim_x→3 1/(√(x+1)+2)
= 1/(√4+2) = 1/(2+2) = 1/4

답: 1/4

유형 3: ∞/∞ 꼴 — 최고차항으로 나누기

x → ∞일 때 분자·분모가 모두 발산하는 경우, 최고차항으로 나눈다.

예제 6   ∞/∞ 꼴

lim_x→∞ (2x²+3x)/(x²−1) 을 구하여라.

풀이

분자·분모를 최고차항 x²으로 나눈다:

= lim_x→∞ (2 + 3/x) / (1 − 1/x²)

x → ∞ 이면 3/x → 0, 1/x² → 0
= (2+0)/(1−0) = 2

답: 2

📌 x → ∞ 극한 패턴 (분수 함수)
분자 차수 < 분모 차수 → 0
분자 차수 = 분모 차수 → 최고차항 계수의 비
분자 차수 > 분모 차수 → ±∞ (발산)

유형 4: ∞ − ∞ 꼴 — 유리화 또는 인수분해

예제 7   ∞ − ∞ 꼴

lim_x→∞ (√(x²+4x) − x) 를 구하여라.

💡 (√(x²+4x)−x)(√(x²+4x)+x)를 곱해 유리화한다.

풀이

분자·분모에 (√(x²+4x)+x)를 곱한다:

= lim_x→∞ (x²+4x−x²) / (√(x²+4x)+x)
= lim_x→∞ 4x / (√(x²+4x)+x)

분자·분모를 x로 나눈다 (x>0이므로 x=√x²):
= lim_x→∞ 4 / (√(1+4/x)+1)

x → ∞ 이면 4/x → 0
= 4/(√1+1) = 4/2 = 2

답: 2

 

5. 극한값의 존재 조건 정리

📐 극한값 존재 조건 — 요약

lim_x→a f(x) = L 이 존재하려면:

① 좌극한과 우극한이 모두 존재해야 한다.

② 좌극한 = 우극한 = L 이어야 한다.

※ f(a)의 값은 극한값 존재에 전혀 영향을 주지 않는다.

예제 8   극한값 조건으로 미지수 구하기

lim_x→1 (x²+ax+b)/(x−1) = 3 일 때, 상수 a, b의 값을 구하여라.

💡 분모가 0이 되는데 극한값이 존재하려면 분자도 0이어야 한다. (0/0 꼴)

풀이

x=1일 때 분모 = 0이고 극한값이 존재(=3)하려면
→ 분자도 x=1에서 0이어야 한다.

1 + a + b = 0  ···①

분자를 (x−1)로 나누어 쓰면:
x²+ax+b = (x−1)(x+c) 꼴 (c는 상수)

전개: x²+(c−1)x−c = x²+ax+b
계수 비교: a = c−1, b = −c

①에 대입: 1+(c−1)+(−c) = 0 → 0 = 0 (항등식)
극한값 조건: lim_x→1(x+c) = 1+c = 3 → c = 2

따라서 a = c−1 = 1, b = −c = −2

답: a = 1, b = −2

 

6. 함수의 극한과 대소 관계 — 샌드위치 정리

📐 극한의 대소 관계

a 근방에서 f(x) ≤ g(x)이고 두 극한이 존재하면: lim f(x) ≤ lim g(x)

샌드위치 정리 (끼임 정리):

a 근방에서 f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) 이고 lim f(x) = lim g(x) = L 이면

lim h(x) = L

예제 9   샌드위치 정리 활용

모든 x에서 2x ≤ f(x) ≤ x² + 1 이 성립할 때, lim_x→1 f(x) 를 구하여라.

풀이

lim_x→1 2x = 2·1 = 2
lim_x→1 (x²+1) = 1+1 = 2

2x ≤ f(x) ≤ x²+1 이고 양쪽 극한이 2로 같으므로
샌드위치 정리에 의해: lim_x→1 f(x) = 2

답: 2

📌 핵심 정리

• 극한의 핵심: f(a)와 무관하게 x가 a에 가까워질 때의 f(x) 변화를 본다
• 극한 존재 조건: 좌극한 = 우극한 = L
• 다항함수 극한: 그냥 x = a 대입
• 유리함수 극한: 분모 ≠ 0이면 대입, = 0이면 인수분해·유리화
• 0/0 꼴 처리: 인수분해 후 약분 / 루트 포함이면 켤레식 곱해 유리화
• ∞/∞ 꼴: 최고차항으로 나누기 → 차수 비교
• ∞−∞ 꼴: 유리화 후 정리
• 미지수 결정 조건: (분모)→0이고 극한 존재 → (분자)도 0
• 샌드위치 정리: f ≤ h ≤ g이고 f, g의 극한이 같으면 h도 같은 극한

▶ 2편에서는 함수의 연속·연속함수의 성질·최대최소 정리·사잇값 정리를 다룬다.