[함수의 극한과 연속] 함수의 연속 완전 정복 — 연속 조건·최대최소·사잇값 정리

1편에서 극한의 개념과 계산법을 익혔다.
이번 2편에서는 극한 개념을 바탕으로 함수의 연속을 다룬다.
"이 함수는 끊기지 않고 이어져 있는가?" 라는 질문이 연속의 핵심이다.
연속의 정의부터 연속함수의 성질, 그리고 수능·내신에서 빠짐없이 나오는 최대·최소 정리와 사잇값 정리까지 정리한다.

1. 함수의 연속 — 정의

연속이란 무엇인가?

일상 언어로 "연속"은 끊기지 않고 이어진다는 뜻이다. 수학에서도 마찬가지다. 함수의 그래프가 x = a에서 끊기거나 점프하지 않으면 연속이다. 하지만 수학적으로는 이것을 극한으로 엄밀하게 정의한다.

📐 함수의 연속 — 3가지 조건 (모두 만족해야 연속)

함수 f(x)가 x = a에서 연속이려면 다음 세 조건을 모두 만족해야 한다:

① f(a)가 정의되어 있다.   (함수값 존재)
② lim_x→a f(x)가 존재한다.   (극한값 존재)
③ lim_x→a f(x) = f(a)   (극한값 = 함수값)

세 조건 중 하나라도 불만족하면 x = a에서 불연속이다.

 

예제 1   연속 판단하기

f(x) = x < 2일 때 x + 1, x ≥ 2일 때 2x − 1 로 정의될 때, x = 2에서의 연속을 판단하여라.

풀이 — 3가지 조건 확인

① f(2) = 2·2−1 = 3   (정의됨 ✓)

② 극한 존재 여부:
좌극한: lim_x→2⁻(x+1) = 3
우극한: lim_x→2⁺(2x−1) = 3
좌극한 = 우극한 = 3 → 극한값 존재 ✓

③ lim_x→2f(x) = 3 = f(2) ✓

세 조건 모두 만족 → x = 2에서 연속

답: x = 2에서 연속

예제 2   연속이 되기 위한 조건

f(x) = x ≠ 1일 때 (x²−1)/(x−1), x = 1일 때 a 로 정의될 때, x = 1에서 연속이 되도록 a의 값을 구하여라.

💡 연속이 되려면 lim_x→1f(x) = f(1) = a이어야 한다.

풀이

lim_x→1 (x²−1)/(x−1) = lim_x→1 (x+1)(x−1)/(x−1)
= lim_x→1 (x+1) = 2

f(1) = a

연속 조건: lim_x→1f(x) = f(1)
→ 2 = a
a = 2

답: a = 2

 

2. 불연속점의 유형

유형	원인	예시	특징
제거 가능 불연속	극한값은 존재하지만 f(a) ≠ 극한값	(x²−1)/(x−1) at x=1	점만 옮기면 연속 가능
점프 불연속	좌극한 ≠ 우극한	|x|/x at x=0	그래프가 점프
무한 불연속	극한값이 ±∞	1/x at x=0	그래프가 수직 점근선

 

3. 연속함수와 그 성질

📐 연속함수의 정의

어떤 구간의 모든 점에서 연속인 함수를 그 구간에서 연속함수라 한다.

구간의 종류:
열린 구간 (a, b): a < x < b 에서 모두 연속
닫힌 구간 [a, b]: 내부에서 연속 + 양 끝점에서 단측 연속
 → lim_x→a⁺f(x) = f(a), lim_x→b⁻f(x) = f(b)

연속함수의 사칙연산

📐 연속함수의 성질

f(x), g(x)가 x = a에서 연속이면:

① f(x) ± g(x) 도 x = a에서 연속

② k·f(x) 도 x = a에서 연속 (k는 상수)

③ f(x)·g(x) 도 x = a에서 연속

④ f(x)/g(x) 도 x = a에서 연속 (단, g(a) ≠ 0)

⑤ f(g(x)) 도 x = a에서 연속 (합성함수 — g가 a에서, f가 g(a)에서 연속이면)

💡 대표적인 연속함수들
• 다항함수: 모든 실수에서 연속
• 유리함수: 분모 ≠ 0인 모든 점에서 연속
• 무리함수: 정의역에서 연속
• 지수·로그·삼각함수: 정의역에서 연속
→ 이들의 합·차·곱·나눗셈·합성도 각각의 정의역에서 연속

예제 3   불연속점 찾기

f(x) = (x²−4)/(|x|−2) 의 불연속점을 모두 구하여라.

💡 분모 |x|−2 = 0이 되는 x를 찾자: x = ±2

풀이

분모 |x|−2 = 0 → |x| = 2 → x = 2 또는 x = −2

x = 2에서:
lim_x→2 (x²−4)/(|x|−2) = lim_x→2 (x+2)(x−2)/(x−2) (x>0근방)
= lim_x→2 (x+2) = 4
f(2)는 분모=0이므로 정의 안됨 → 불연속 (제거 가능)

x = −2에서:
x→−2⁻: |x|=−x이므로 (x²−4)/(−x−2) = (x+2)(x−2)/(−(x+2)) = −(x−2)
lim_x→−2⁻−(x−2) = −(−4) = 4
x→−2⁺: 마찬가지로 lim = 4
→ 극한값 4 존재하나 f(−2) 정의 안됨 → 불연속 (제거 가능)

답: x = 2, x = −2에서 불연속

 

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4. 최대·최소 정리

📐 최대·최소 정리 (Extreme Value Theorem)

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이면, f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

⚠️ 최대·최소 정리의 조건 두 가지가 모두 필요
조건 ①: 닫힌 구간 [a, b]  → 열린 구간 (a, b)이면 보장 안 됨
조건 ②: 구간에서 연속  → 불연속이면 최대·최소가 없을 수 있음

예) f(x) = 1/x on (0, 1): 열린 구간 + 연속이나 최댓값·최솟값 없음
예) [0, 2]에서 0<x≤2이면 1, x=0이면 5: 불연속 → 최솟값 없음

예제 4   최대·최소 정리 활용

f(x) = x² − 4x + 5 의 닫힌 구간 [0, 3]에서의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

💡 연속함수이므로 최대·최소 정리 적용. 내부 극값과 끝점 값을 비교한다.

풀이

f'(x) = 2x − 4 = 0 → x = 2 (내부 극솟점)

f(0) = 0 − 0 + 5 = 5 (끝점)
f(2) = 4 − 8 + 5 = 1 (내부 극솟값)
f(3) = 9 − 12 + 5 = 2 (끝점)

세 값 비교: 1, 2, 5
최댓값 = 5 (x=0에서), 최솟값 = 1 (x=2에서)

답: 최댓값 5, 최솟값 1

 

5. 사잇값 정리 — 방정식의 실근 존재 증명

📐 사잇값 정리 (Intermediate Value Theorem)

함수 f(x)가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고 f(a) ≠ f(b)이면, f(a)와 f(b) 사이의 임의의 값 k에 대해

f(c) = k 인 c가 (a, b) 안에 적어도 하나 존재한다.

사잇값 정리의 핵심 응용 — 방정식의 실근 존재

사잇값 정리에서 k = 0으로 놓으면: f(a)와 f(b)의 부호가 다르면 (한 쪽은 양, 한 쪽은 음) f(a) < 0 < f(b) 또는 반대이므로, f(c) = 0 인 c가 (a, b)에 적어도 하나 존재한다. 즉, f(x) = 0의 실근이 (a, b)에 있다는 것을 증명할 수 있다.

f(a)·f(b) < 0 이고 [a, b]에서 f 연속 → f(c) = 0인 c가 (a, b)에 존재

f(a)·f(b) < 0 은 f(a)와 f(b)의 부호가 반대라는 뜻
→ 방정식 f(x) = 0의 실근이 (a, b)에 적어도 하나 있다

예제 5   사잇값 정리로 실근 존재 증명

방정식 x³ − 3x + 1 = 0 이 열린 구간 (1, 2)에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보여라.

풀이

f(x) = x³ − 3x + 1 로 놓으면 f(x)는 다항함수이므로 [1, 2]에서 연속.

f(1) = 1 − 3 + 1 = −1 < 0
f(2) = 8 − 6 + 1 = 3 > 0

f(1) < 0 < f(2) 이므로 f(1)·f(2) < 0

사잇값 정리에 의해
f(c) = 0 인 c가 열린 구간 (1, 2)에 적어도 하나 존재한다.
즉, 방정식 x³−3x+1=0의 실근이 (1, 2)에 적어도 하나 있다. ■

답: f(1)=−1<0, f(2)=3>0이므로 사잇값 정리에 의해 실근 존재

예제 6   사잇값 정리 — 방정식 근 구간 결정

f(x) = x³ − x − 3 으로 정의할 때, 방정식 f(x) = 0이 근을 갖는 구간을 정수 a, b (a < b, b − a = 1)에 대해 (a, b)로 나타내어라.

💡 정수값 대입 → 부호 변화 구간 찾기

풀이

f(−2) = −8+2−3 = −9 < 0
f(−1) = −1+1−3 = −3 < 0
f(0) = 0−0−3 = −3 < 0
f(1) = 1−1−3 = −3 < 0
f(2) = 8−2−3 = 3 > 0

f(1)<0, f(2)>0 → f(1)·f(2)<0
사잇값 정리에 의해 근이 (1, 2)에 존재

답: (1, 2)

예제 7   사잇값 정리 고급 응용

f(x)가 [0, 2]에서 연속이고 f(0) = 1, f(2) = 5 일 때, f(c) = 3 인 c가 (0, 2)에 존재함을 보여라. 또한 g(x) = f(x) − x − 1로 놓으면 g(c) = 0인 c가 (0, 2)에 있음을 설명하여라.

풀이

(1) f(0)=1, f(2)=5이고 1 < 3 < 5
f는 [0,2]에서 연속이고 f(0)<3<f(2)이므로
사잇값 정리에 의해 f(c)=3인 c ∈ (0,2)가 존재. ■

(2) g(x) = f(x) − x − 1 (연속함수의 차는 연속)
g(0) = f(0) − 0 − 1 = 1 − 1 = 0
→ c = 0이 g(c)=0의 해이지만 끝점

좀 더 정밀히: g(0)=0 이면 c=0 자체. 다른 c가 필요하면:
g(2) = f(2) − 2 − 1 = 5 − 3 = 2 > 0
g(0)=0인데 이미 경계점이므로 내부에 별도 점 필요 여부는 조건에 따라 판단.

답: (1) f(0)<3<f(2), 사잇값 정리 적용 ■

 

6. 종합 예제

종합 예제   연속 조건 + 미지수 결정

f(x) = x < 1일 때 ax + b, x ≥ 1일 때 x² + 2x − 1 로 정의된다. f(x)가 x = 1에서 연속이고 lim_x→−1 f(x) = 2일 때, a와 b를 구하여라.

풀이

[조건 1: x=1에서 연속]
f(1) = 1 + 2 − 1 = 2
lim_x→1⁻f(x) = a + b (x<1 부분에서)
lim_x→1⁺f(x) = 1 + 2 − 1 = 2

연속이려면 lim = f(1): a + b = 2  ···①

[조건 2: lim_x→−1f(x) = 2]
x = −1 근방은 x < 1 이므로 f(x) = ax+b
lim_x→−1(ax+b) = −a+b = 2  ···②

①과 ② 연립:
① a+b=2
② −a+b=2
→ ①−②: 2a=0 → a=0
→ b=2

답: a = 0, b = 2

📌 핵심 정리

• 연속의 3조건: ① f(a) 정의 ② 극한값 존재 ③ 극한값 = f(a)
• 세 조건 중 하나라도 불만족 → 불연속
• 불연속 유형: 제거가능(점만 옮기면 연속) / 점프(좌≠우) / 무한(∞)
• 연속함수 예시: 다항·유리·무리·삼각·지수·로그 (각자 정의역에서)
• 연속함수의 사칙: 합·차·곱·나눗셈·합성 모두 연속 (조건 내에서)
• 최대·최소 정리: 닫힌 구간 + 연속 → 반드시 최대·최솟값 존재
• 조건 둘 다 필요: 열린 구간이거나 불연속이면 보장 안 됨
• 사잇값 정리: 닫힌 구간 + 연속 → 함수값 사이의 모든 값 취함
• 실근 존재 증명: f(a)·f(b)<0이면 (a,b)에 f(c)=0인 c 존재
• 근 구간: 정수 대입 → 부호 변화 구간 찾기 → 사잇값 정리 적용