[미분] 도함수의 활용 완전 정복 — 접선·극값·최대최소·방정식

1편에서 미분계수와 도함수를 배웠다.
이번 2편은 그것을 실전에서 사용하는 법이다.
접선의 방정식, 함수의 증가·감소, 극값, 최대·최소, 방정식과 부등식 활용까지
시험에 반드시 나오는 모든 유형을 예제와 함께 완전히 정리한다.

1. 접선의 방정식

📐 접선의 방정식 공식

곡선 y = f(x) 위의 점 (a, f(a))에서의 접선:

y − f(a) = f'(a)(x − a)

순서: ① f'(x) 계산 → ② x = a 대입해 기울기 f'(a) → ③ 점 (a, f(a)) 확인 → ④ 공식 대입

예제 1   기본 접선의 방정식

곡선 y = x³ − 2x + 1 위의 점 (1, 0)에서의 접선의 방정식을 구하여라.

풀이

f'(x) = 3x² − 2
f'(1) = 3 − 2 = 1   (접선의 기울기)

점 (1, 0), 기울기 1인 직선:
y − 0 = 1·(x − 1)
y = x − 1

답: y = x − 1

예제 2   기울기가 주어진 접선

곡선 y = x³ − 3x 에서 기울기가 9인 접선의 방정식을 모두 구하여라.

💡 f'(x) = 9인 x를 먼저 찾아 접점을 결정한다.

풀이

f'(x) = 3x² − 3 = 9
3x² = 12, x² = 4
x = 2 또는 x = −2

x = 2: f(2) = 8 − 6 = 2 → 점 (2, 2), 기울기 9
접선: y − 2 = 9(x − 2) → y = 9x − 16

x = −2: f(−2) = −8 + 6 = −2 → 점 (−2, −2), 기울기 9
접선: y + 2 = 9(x + 2) → y = 9x + 16

답: y = 9x − 16 또는 y = 9x + 16

예제 3   외부 점에서 그은 접선

곡선 y = x² 위의 점에서 점 (1, −1)을 지나는 접선의 방정식을 구하여라.

💡 접점을 (t, t²)으로 놓고 접선이 (1, −1)을 지나는 조건을 이용.

풀이

접점 (t, t²)에서 접선 기울기 = f'(t) = 2t
접선: y − t² = 2t(x − t) → y = 2tx − t²

점 (1, −1) 대입:
−1 = 2t − t²
t² − 2t − 1 = 0
t = 1 ± √2

t = 1+√2: 접선 y = 2(1+√2)x − (1+√2)²
= 2(1+√2)x − (3+2√2)

t = 1−√2: 접선 y = 2(1−√2)x − (3−2√2)

답: y = 2(1±√2)x − (3±2√2)

 

2. 함수의 증가·감소와 극값

📐 도함수와 증가·감소의 관계

어떤 구간에서:

f'(x) > 0 → f(x)는 증가

f'(x) < 0 → f(x)는 감소

f'(x) = 0 → 증가·감소가 바뀌는 후보점 (극값 후보)

📐 극값의 정의

x = a 좌우에서 f'(x)의 부호가:

+ → −: x = a에서 극대, 극댓값 f(a)

− → +: x = a에서 극소, 극솟값 f(a)

부호 불변: 극값 없음

⚠️ f'(a) = 0이어도 극값이 없을 수 있다!
f(x) = x³에서 f'(0) = 0이지만 x = 0의 좌우에서 f' = 3x² ≥ 0
→ 부호가 바뀌지 않으므로 극값 없음!
반드시 부호 변화를 증감표로 확인해야 한다.

예제 4   증감표와 극값

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2 의 극값을 구하여라.

풀이

f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x² − 4x + 3) = 3(x−1)(x−3)
f'(x) = 0: x = 1 또는 x = 3

x	···	1	···	3	···
f'(x)	+	0	−	0	+
f(x)	↗	극대	↘	극소	↗

극댓값: f(1) = 1 − 6 + 9 + 2 = 6
극솟값: f(3) = 27 − 54 + 27 + 2 = 2

답: 극댓값 6 (x=1), 극솟값 2 (x=3)

 

3. 닫힌 구간에서의 최대·최소

닫힌 구간 [a, b]에서 연속인 함수는 반드시 최댓값·최솟값을 가진다. 이를 구하는 방법은 다음과 같다.

📐 최대·최소 구하기 순서

① f'(x) = 0이 되는 구간 내 x값 구하기 (극값 후보)

② 끝점 f(a), f(b) 계산

③ 극값 후보에서의 함수값 계산

④ 모든 값 중 가장 큰 것 = 최댓값, 가장 작은 것 = 최솟값

예제 5   닫힌 구간에서 최대·최소

f(x) = x³ − 3x + 1 에서 닫힌 구간 [−2, 3]에서의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

풀이

f'(x) = 3x² − 3 = 3(x+1)(x−1) = 0
→ x = −1, x = 1 (구간 내 극값 후보)

값 계산:
f(−2) = −8 + 6 + 1 = −1   (끝점)
f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3   (극댓값 후보)
f(1) = 1 − 3 + 1 = −1   (극솟값 후보)
f(3) = 27 − 9 + 1 = 19   (끝점)

비교: −1, 3, −1, 19
최댓값 = 19 (x=3), 최솟값 = −1 (x=−2 또는 x=1)

답: 최댓값 19, 최솟값 −1

 

반응형

 

4. 방정식과 부등식에의 활용

방정식의 실근 개수

방정식 f(x) = 0의 실근 개수는 y = f(x)의 그래프와 x축의 교점 수와 같다. 도함수로 증감표를 그리면 그래프의 형태를 파악할 수 있다.

예제 6   방정식의 실근 개수

방정식 x³ − 3x + k = 0 의 서로 다른 실근의 개수를 k의 값에 따라 구하여라.

💡 f(x) = x³ − 3x로 놓고, y = f(x)와 y = −k의 교점 수로 생각한다.

풀이

f(x) = x³ − 3x 로 놓으면
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x+1)(x−1) = 0 → x = ±1

증감표: x=−1에서 극대, x=1에서 극소
f(−1) = −1+3 = 2 (극대), f(1) = 1−3 = −2 (극소)

x³−3x+k=0 ⟺ x³−3x = −k ⟺ f(x) = −k
y = f(x)와 수평선 y = −k의 교점 수 = 실근 수

−k > 2, 즉 k < −2: 교점 1개
−k = 2, 즉 k = −2: 교점 2개
−2 < −k < 2, 즉 −2 < k < 2: 교점 3개
−k = −2, 즉 k = 2: 교점 2개
−k < −2, 즉 k > 2: 교점 1개

답: k < −2 또는 k > 2: 1개 / k=±2: 2개 / −2<k<2: 3개

부등식의 증명

"x > a이면 f(x) > g(x)"를 증명할 때는 h(x) = f(x) − g(x)로 놓고 h(x) > 0임을 도함수로 증명한다.

예제 7   도함수로 부등식 증명

x > 0이면 x³ + 3 > 3x임을 증명하여라.

풀이

h(x) = x³ + 3 − 3x 로 놓으면
h'(x) = 3x² − 3 = 3(x+1)(x−1)

x > 0에서 h'(x)의 부호:
0 < x < 1: h'(x) < 0 (감소)
x = 1: h'(x) = 0
x > 1: h'(x) > 0 (증가)

x = 1에서 극솟값: h(1) = 1+3−3 = 1 > 0

따라서 x > 0인 모든 x에서 h(x) ≥ h(1) = 1 > 0
즉, x³ + 3 − 3x > 0 → x³ + 3 > 3x ■

답: h(x)의 극솟값 h(1)=1>0이므로 항상 h(x)>0 ■

 

5. 속도와 가속도 — 미분의 물리적 응용

📐 위치·속도·가속도

수직선 위를 움직이는 점의 위치가 x = f(t)일 때:

속도: v(t) = dx/dt = f'(t)

가속도: a(t) = dv/dt = f''(t)

v(t) > 0: 양의 방향 운동  |  v(t) < 0: 음의 방향 운동
v(t) = 0: 운동 방향이 바뀌는 시각 후보

예제 8   속도·가속도

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t에서의 위치가 x = t³ − 6t² + 9t 일 때,
(1) t = 2에서의 속도와 가속도
(2) 운동 방향이 바뀌는 시각

풀이

v(t) = x' = 3t² − 12t + 9 = 3(t−1)(t−3)
a(t) = v' = 6t − 12

(1) t=2: v(2) = 3(1)(−1) = −3
a(2) = 12 − 12 = 0

(2) v(t) = 0: t = 1 또는 t = 3
t < 1: v > 0 (양방향)
1 < t < 3: v < 0 (음방향) → t=1에서 방향 전환
t > 3: v > 0 (양방향) → t=3에서 방향 전환
방향 전환: t = 1, t = 3

답: (1) 속도 −3, 가속도 0   (2) t=1, t=3

 

6. 종합 예제

종합 예제 1   극값 조건으로 계수 결정

f(x) = x³ + ax² + bx + 2 가 x = 1에서 극댓값을 가지고, 극솟값이 −2일 때, 상수 a, b를 구하여라.

풀이

f'(x) = 3x² + 2ax + b
x = 1이 극값점이면 f'(1) = 0:
3 + 2a + b = 0  ···①

삼차함수의 극값점이 2개이고 하나가 x=1이면
f'(x) = 3(x−1)(x−c)로 쓸 수 있다. (c는 극솟점)
전개: 3(x²−(1+c)x+c) = 3x²−3(1+c)x+3c

계수 비교: 2a = −3(1+c), b = 3c

극솟값 = f(c) = −2:
c³ + ac² + bc + 2 = −2  ···②

①에서: b = −3−2a
a = −3(1+c)/2, b = 3c → −3−2·(−3(1+c)/2) = 3c
→ −3+3(1+c) = 3c → −3+3+3c = 3c → 0 = 0 (c에 독립)

f'(x) = 3(x−1)(x−c), x=1이 극대이므로 c > 1
f(c) = −2 를 풀어야 하므로 수치 대입 시도:
c = −1 시: f'(x) = 3(x−1)(x+1) = 3(x²−1)
→ 2a = −3·0 = 0, a = 0, b = −3
x = −1: f(−1) = −1+0+3+2 = 4 ≠ −2

다시 검토: f'(x)=3(x−1)(x−c)에서 c= 극솟점
극댓값: f(1), 극솟값: f(c) = −2
a = −3(1+c)/2, b = 3c 로 f(c)=−2:
c³ + (−3(1+c)/2)c² + 3c·c + 2 = −2
→ c³ − 3c²(1+c)/2 + 3c² = −4
(복잡하므로) 정수 해 탐색: c = −1:
a = −3·0/2 = 0, b = −3
f(x) = x³ − 3x + 2, f(−1) = −1+3+2 = 4 (불일치)
c = 3: a = −3·4/2 = −6, b = 9
f(3) = 27−54+27+2 = 2 (불일치)
c = −3: a = −3·(−2)/2 = 3, b = −9
f(x) = x³+3x²−9x+2, f(−3)=−27+27+27+2=29 (불일치)

→ 재설정: f'(x) = 3(x−1)(x−p) (p < 1: x=1이 극대)
p = −1: f'(x)=3(x²−1)=3x²−3 → a=0, b=−3
f(1)=1+0−3+2=0 (극댓값), f(−1)=−1+0+3+2=4 (극솟값 ≠ −2)
극솟값 조건 재검토 필요 — 이 문제는 조건이 2개(극대점 x=1, 극솟값=−2)이므로:

정리하면: a+b = −3 ···①, f(극소점) = −2
f'(x) = 3(x−1)(x−t) 형태에서 극대=x=1
t: 극소점, f(t) = t³+at²+bt+2 = −2
a = −3(t+1)/2, b = 3t, ①에서 −3(t+1)/2+3t = −3 → −3t−3+6t = −6 → 3t = −3 → t = −1
a = 3, b = −3
검증: f(x) = x³+3x²−3x+2
f'(x) = 3x²+6x−3 = 3(x²+2x−1) ← x=1이 근인지 확인
3(1+2−1) = 6 ≠ 0 → x=1이 극점이 아님

올바른 접근: f'(1)=0, f'(x)=3(x−1)(x−t), t는 극소점
a = −3(1+t)/2, b = 3t
①: 3+2a+b=0 → 3+2·(−3(1+t)/2)+3t=0 → 3−3−3t+3t=0 → 0=0 ✓ (항등식)
f(t) = −2: t³+at²+bt+2 = −2
t³ − 3t²(1+t)/2 + 3t² + 2 = −2
2t³ − 3t²(1+t) + 6t² + 4 = −4
2t³ − 3t² − 3t³ + 6t² + 4 = −4
−t³ + 3t² + 8 = 0
t³ − 3t² − 8 = 0
t = −1: −1−3−8 = −12 ≠ 0
t = 4: 64−48−8 = 8 ≠ 0
t = −2: −8−12−8 = −28 ≠ 0

→ 문제 재설정: 극대가 x=1이고 f(x)의 극솟값이 −2
f'(x) = 3(x−1)(x−t) = 3x²−3(1+t)x+3t
a = −3(1+t)/2, b = 3t

답: 복잡한 계산 과정 필요 — f'(x)=3(x−1)(x−t) 꼴로 설정 후 극솟값 조건 대입

종합 예제 2   미분과 함수의 그래프

f(x) = 2x³ − 9x² + 12x − 4 에 대해
(1) 극대·극소를 구하여라.
(2) x ≥ 0에서의 최솟값을 구하여라.
(3) f(x) = 0의 실근 개수를 구하여라.

풀이

f'(x) = 6x² − 18x + 12 = 6(x² − 3x + 2) = 6(x−1)(x−2)
f'(x) = 0: x = 1 또는 x = 2

증감표:

x	···	1	···	2	···
f'	+	0	−	0	+
f	↗	극대	↘	극소	↗

f(1) = 2−9+12−4 = 1 (극댓값)
f(2) = 16−36+24−4 = 0 (극솟값)

(1) 극댓값: 1 (x=1), 극솟값: 0 (x=2)

(2) x≥0에서 최솟값:
극솟값 f(2) = 0, f(0) = −4
x→∞: f(x)→∞
최솟값 = −4 (x=0에서)

(3) 극댓값 1 > 0, 극솟값 0 이고 f(0)=−4<0
x→−∞: f→−∞, x→∞: f→∞
x<1 구간: f(0)=−4<0에서 f(1)=1>0 → 근 1개
x=2: f(2)=0 → 근 1개 (x축에 접함)
→ 실근: 2개 (한 실근과 x=2에서 중근)

답: (1) 극대 1, 극소 0   (2) 최솟값 −4   (3) 실근 2개

📌 핵심 정리

• 접선: y−f(a) = f'(a)(x−a). 기울기 = f'(a)
• 기울기 주어진 접선: f'(x) = k 풀어 접점 찾기
• 외부 점에서 접선: 접점 (t, f(t))로 놓고 그 점을 지나는 조건
• f'(x) > 0 → 증가 / f'(x) < 0 → 감소
• 극대: f'가 + → − / 극소: f'가 − → +
• f'(a)=0이어도 부호 불변이면 극값 없음!
• 닫힌 구간 최대·최소: 극값 후보 + 끝점값 모두 비교
• 방정식 실근 개수: y=f(x) 그래프와 y=k 수평선 교점 수
• 부등식 증명: h=f−g로 놓고 h>0 도함수로 증명
• 속도 v=x' / 가속도 a=v'=x'' / v=0인 시각에서 방향 전환