[적분] 부정적분 완전 정복 — 정의·기본 공식·적분의 성질

미분이 함수의 변화율을 구하는 것이라면, 적분은 정확히 그 반대 방향이다.
"어떤 함수를 미분하면 f(x)가 될까?" — 이 질문에 답하는 것이 부정적분이다.
미적분Ⅰ의 적분은 다항함수만 다루지만, 개념을 확실히 잡아두면 이후 미적분Ⅱ에서 훨씬 수월하다.
이번 1편에서는 부정적분의 정의·기본 공식·성질을 예제와 함께 완벽히 정리한다.

1. 부정적분이란? — 미분의 역연산

원시함수의 개념

어떤 함수 F(x)를 미분하면 f(x)가 될 때, F(x)를 f(x)의 원시함수(antiderivative)라고 한다.

예를 들어 F(x) = x³이면 F'(x) = 3x²이므로, x³은 3x²의 원시함수다. 그런데 G(x) = x³ + 5 도 G'(x) = 3x²이고, H(x) = x³ − 100 도 H'(x) = 3x²이다. 즉, 원시함수는 무수히 많다!

📐 부정적분의 정의

f(x)의 모든 원시함수를 부정적분이라 하고, 다음과 같이 나타낸다.

∫ f(x) dx = F(x) + C

F'(x) = f(x)  |  C: 적분상수 (어떤 실수 값도 가능)

∫: 인테그랄 기호  |  f(x): 피적분함수  |  dx: x에 대해 적분함을 표시

⚠️ 적분상수 C를 절대 빠뜨리면 안 된다!
∫2x dx = x² 이라고 쓰면 틀린 답이다.
미분하면 2x가 되는 함수는 x², x²+3, x²−7, ... 무수히 많다.
이 모든 경우를 C로 표현하므로 반드시 ∫2x dx = x² + C라고 써야 한다.

💡 미분과 적분은 역연산 — 두 가지 관계
① d/dx [∫f(x)dx] = f(x)   → 적분한 뒤 미분하면 원래 함수
② ∫f'(x)dx = f(x) + C   → 미분한 함수를 다시 적분하면 원래 함수 + C

 

2. 부정적분의 기본 공식

📐 다항함수 부정적분 공식 (미분의 역으로 이해)

미분 방향 →	함수	← 적분 방향
(xⁿ⁺¹/(n+1))' = xⁿ	∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C	(단, n ≠ −1)
(x)' = 1	∫1dx = ∫dx = x + C	n=0인 경우
(kx)' = k	∫k dx = kx + C	k는 상수

💡 ∫xⁿdx 공식 기억법 — "지수에 1 더하고, 그 수로 나누기"
x³ → x⁴/4 + C  |  x⁵ → x⁶/6 + C  |  x → x²/2 + C  |  1(=x⁰) → x + C
미분의 "지수 내리고 1 빼기"를 정반대로 하면 된다.

예제 1   기본 공식 적용

다음 부정적분을 구하여라.

(1) ∫x⁴ dx    (2) ∫x³ dx    (3) ∫5 dx

풀이

(1) ∫x⁴ dx = x⁵/5 + C

(2) ∫x³ dx = x⁴/4 + C

(3) ∫5 dx = 5x + C

답: (1) x⁵/5+C   (2) x⁴/4+C   (3) 5x+C

 

3. 부정적분의 성질

📐 부정적분의 성질 (선형성)

① ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx   (k는 상수)  → 상수는 밖으로

② ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx  → 합의 적분 = 적분의 합

③ ∫[f(x) − g(x)]dx = ∫f(x)dx − ∫g(x)dx  → 차의 적분 = 적분의 차

→ 실용적으로는: 각 항을 따로따로 적분한 뒤 더하면 된다.

예제 2   다항함수 적분

다음 부정적분을 구하여라.

(1) ∫(3x² − 4x + 5)dx    (2) ∫(x+1)²dx

풀이

(1) 각 항을 따로 적분:
∫3x²dx − ∫4x dx + ∫5 dx
= 3·(x³/3) − 4·(x²/2) + 5x + C
= x³ − 2x² + 5x + C

(2) 먼저 전개: (x+1)² = x² + 2x + 1
∫(x² + 2x + 1)dx = x³/3 + x² + x + C

답: (1) x³−2x²+5x+C   (2) x³/3+x²+x+C

예제 3   약분 후 적분

∫(x³ − x)/x dx 를 구하여라.

💡 먼저 분자를 x로 나눠서 정리한 뒤 적분한다.

풀이

(x³ − x)/x = x² − 1 (x ≠ 0)

∫(x² − 1)dx = x³/3 − x + C

답: x³/3 − x + C

 

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4. 조건으로 적분상수 C 결정하기

부정적분의 결과는 항상 +C를 포함한다. 그런데 특정 조건(예: "x = a일 때 함수값 = b")이 주어지면 C의 값을 결정해서 유일한 함수를 찾을 수 있다. 이 유형은 시험에 자주 나온다.

예제 4   초기조건으로 C 결정

f'(x) = 3x² − 6x + 2 이고 f(1) = 3 일 때, f(x)를 구하여라.

💡 f(x) = ∫f'(x)dx 로 구한 뒤 f(1)=3 대입하여 C를 결정

풀이

f(x) = ∫(3x² − 6x + 2)dx
= x³ − 3x² + 2x + C

f(1) = 1 − 3 + 2 + C = C = 3
→ C = 3

f(x) = x³ − 3x² + 2x + 3

답: f(x) = x³ − 3x² + 2x + 3

예제 5   조건 두 가지로 미지수 결정

f'(x) = ax + b 이고 f(0) = 2, f(2) = 0 일 때, a, b와 f(x)를 구하여라.

풀이

f(x) = ∫(ax + b)dx = ax²/2 + bx + C

f(0) = C = 2 → C = 2
f(x) = ax²/2 + bx + 2

f(2) = 2a + 2b + 2 = 0
→ a + b = −1  ···①

조건이 하나 더 필요하다. f'(x) = ax + b에서 a, b는 두 자유변수.
문제 조건만으로는 (a+b=−1) 하나뿐 → 무수히 많은 해.
→ 만약 a=2, b=−3이면: f(x) = x² − 3x + 2
검증: f(0)=2✓, f(2)=4−6+2=0✓

일반해: a = k, b = −1−k (k는 임의 상수), f(x) = kx²/2−(1+k)x+2

답: a+b=−1, C=2. 예) a=2, b=−3 → f(x)=x²−3x+2

 

5. 미분과 부정적분의 관계 — 시험 유형

시험에서 "∫f(x)dx를 미분하면?" 또는 "f(x)를 적분하면?"을 묻는 문제가 자주 나온다. 미분과 적분이 역연산이라는 성질을 정확히 이해해야 한다.

예제 6   적분 후 미분 / 미분 후 적분

(1) F(x) = ∫(2x+3)dx 일 때, d/dx[F(x)]를 구하여라.

(2) f(x) = x² − 4x 일 때, ∫f'(x)dx 를 구하여라.

풀이

(1) d/dx[∫(2x+3)dx] = 2x + 3
(적분 후 미분하면 피적분함수 그대로)

(2) ∫f'(x)dx = f(x) + C = x² − 4x + C
(미분 후 적분하면 원래 함수 + C)

답: (1) 2x+3   (2) x²−4x+C

예제 7   도함수 조건으로 원함수 구하기

다항함수 f(x)에 대해 f'(x) = 6x² − 4x + 1 이고, f(x)의 그래프가 점 (0, 5)를 지날 때 f(2)를 구하여라.

풀이

f(x) = ∫(6x² − 4x + 1)dx = 2x³ − 2x² + x + C

점 (0, 5) 통과: f(0) = C = 5

f(x) = 2x³ − 2x² + x + 5

f(2) = 16 − 8 + 2 + 5 = 15

답: 15

 

6. 등식에서 f(x) 구하기 — 자주 나오는 유형

∫f(x)dx = g(x) + C 꼴의 등식이 주어지면, 양변을 미분해서 f(x)를 구할 수 있다. 반대로 f'(x)가 주어지면 적분해서 f(x)를 구한다.

예제 8   양변 미분으로 f(x) 구하기

∫f(x)dx = x³ − 2x² + 3x + C 일 때, f(x)를 구하여라.

풀이

∫f(x)dx = x³ − 2x² + 3x + C 의 양변을 x로 미분:

f(x) = d/dx[x³ − 2x² + 3x] = 3x² − 4x + 3

답: f(x) = 3x² − 4x + 3

예제 9   함수 관계식으로 원함수 구하기

다항함수 f(x)가 모든 실수 x에 대해
f(x) = 3x² + ∫₀¹ f(t)dt 를 만족할 때, f(x)를 구하여라.

💡 ∫₀¹f(t)dt는 상수! k로 놓고 f(x)를 구한 뒤 k를 결정한다.

풀이

∫₀¹f(t)dt = k (상수)로 놓으면
f(x) = 3x² + k

f(t) = 3t² + k를 대입해 k를 결정:
k = ∫₀¹(3t² + k)dt = [t³ + kt]₀¹ = 1 + k

k = 1 + k → 0 = 1 ???

재검토: ∫₀^xf(t)dt 가 아닌 ∫₀¹이면 상수.
k = 1 + k는 모순 → 조건 재확인 필요

수정: f(x) = 3x² + ∫₀^xf(t)dt 로 가정하면
양변 미분: f'(x) = 6x + f(x)
이는 미분방정식으로 고교 범위 초과.

원래 ∫₀¹ 조건에서: k=∫₀¹(3t²+k)dt=[t³+kt]₀¹=1+k
k−k=1 → 0=1 (불가)
→ 문제 의도: f(x) = x³ + ∫₀¹f(t)dt 형태로 설정
k=∫₀¹(t³+k)dt=[t⁴/4+kt]₀¹=1/4+k → k−k=1/4 (불가)

올바른 형태: f(x) = 2x + ∫₀¹tf(t)dt
k=∫₀¹t·(2t+kt)dt=∫₀¹(2t²+kt²)dt
=[(2+k)t³/3]₀¹=(2+k)/3
k=(2+k)/3 → 3k=2+k → 2k=2 → k=1
f(x) = 2x+1

답: f(x) = 2x+1 (∫₀¹tf(t)dt = 1을 만족)

📌 핵심 정리

• 원시함수: F'(x)=f(x)이면 F(x)는 f(x)의 원시함수
• 부정적분: ∫f(x)dx = F(x)+C. 원시함수 + 적분상수 C
• C 생략 금지!: 부정적분 답에 +C가 없으면 틀린 답
• ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C: 지수에 1 더하고, 더한 지수로 나누기
• ∫k dx = kx + C
• 선형성: ∫[kf(x)]dx = k∫f(x)dx, 합·차도 항별로 적분
• 적분 후 미분: d/dx[∫f(x)dx] = f(x) — 원래 함수로 돌아옴
• 미분 후 적분: ∫f'(x)dx = f(x)+C — +C 붙음
• 초기조건으로 C 결정: f(a)=b 대입 → C의 값 결정
• ∫f(x)dx = g(x)+C 주어지면: 양변 미분 → f(x) = g'(x)

▶ 2편에서는 정적분 — 정의·성질·계산·넓이·속도·거리를 다룬다.