[삼각함수] 삼각함수 완전 정복 — 정의·공식·그래프까지

삼각함수는 단순히 직각삼각형의 비율이 아니다.
원 위의 점이 회전하면서 만들어내는 주기적인 물결 패턴이다.
소리, 빛, 전류, 파동 — 이 모든 것이 삼각함수로 설명된다.
이번 1편에서는 호도법, 삼각함수의 정의, 삼각함수 사이의 관계, 삼각함수의 그래프까지 예제와 함께 완벽히 정리한다.

1. 각의 측정 — 호도법

지금까지 각도는 도(°)로 나타냈다. 삼각함수에서는 호도법(라디안, radian)을 사용한다.

📐 호도법의 정의

반지름 r인 원에서 호의 길이가 r일 때 그 중심각의 크기를 1라디안(rad)이라 한다.

l = rθ   (l: 호의 길이, r: 반지름, θ: 중심각(라디안))

넓이 공식: S = (1/2)r²θ   (부채꼴의 넓이)

📐 도수법 ↔ 호도법 변환

180° = π (라디안)

도 → 라디안: x° = x × π/180    라디안 → 도: θ = θ × 180/π

도수법	0°	30°	45°	60°	90°	120°	180°	270°	360°
호도법	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2π/3	π	3π/2	2π

예제 1   호의 길이·넓이 계산

반지름 4, 중심각 π/3인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하여라.

풀이

호의 길이: l = rθ = 4 × π/3 = 4π/3
넓이: S = (1/2)r²θ = (1/2) × 16 × π/3 = 8π/3

답: 호의 길이 4π/3, 넓이 8π/3

 

2. 삼각함수의 정의 — 단위원

삼각함수는 직각삼각형의 비율로 시작하지만, 각도의 범위를 모든 실수로 확장하기 위해 단위원(반지름 1인 원)을 이용한다.

📐 삼각함수의 정의 (단위원 이용)

각 θ에 대해 단위원 위의 점을 P(x, y)라 하면:

sin θ = y,   cos θ = x,   tan θ = y/x = sin θ/cos θ

cosec θ = 1/sin θ,   sec θ = 1/cos θ,   cot θ = cos θ/sin θ (역수)

 

삼각함수의 부호 (사분면별)

사분면	sin θ	cos θ	tan θ
1사분면 (0 < θ < π/2)	+	+	+
2사분면 (π/2 < θ < π)	+	−	−
3사분면 (π < θ < 3π/2)	−	−	+
4사분면 (3π/2 < θ < 2π)	−	+	−

💡 부호 외우기 — "모두 사인 탄젠트 코사인" (반시계 방향)
1사분면: 모두(+) / 2사분면: 사인(+) / 3사분면: 탄젠트(+) / 4사분면: 코사인(+)

 

3. 삼각함수 특수각 값

θ	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π
sin θ	0	1/2	√2/2	√3/2	1	0	−1	0
cos θ	1	√3/2	√2/2	1/2	0	−1	0	1
tan θ	0	1/√3	1	√3	미정의	0	미정의	0

💡 sin 값 외우기 — 분모는 모두 2, 분자는 0,1,√2,√3,2
sin 0=0/2, sin π/6=1/2, sin π/4=√2/2, sin π/3=√3/2, sin π/2=2/2=1
cos는 sin을 역순으로: cos 0=1, cos π/6=√3/2, ... cos π/2=0

 

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4. 삼각함수 사이의 관계

📐 삼각함수 기본 관계식

① sin²θ + cos²θ = 1   (피타고라스 항등식 — 가장 중요!)

② tan θ = sin θ / cos θ

③ sin²θ + cos²θ = 1 의 변형:

tan²θ + 1 = sec²θ   (①을 cos²θ로 나누면)

1 + cot²θ = cosec²θ   (①을 sin²θ로 나누면)

예제 2   삼각함수 값 구하기

sin θ = 3/5 이고 θ가 2사분면일 때, cos θ와 tan θ를 구하여라.

풀이

sin²θ + cos²θ = 1
(3/5)² + cos²θ = 1
cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25
cos θ = ±4/5

2사분면에서 cos θ < 0 이므로 cos θ = −4/5
tan θ = sin θ / cos θ = (3/5)/(−4/5) = −3/4

답: cos θ = −4/5, tan θ = −3/4

예제 3   삼각함수 식 변형

sin θ + cos θ = √2/2 일 때, sin θ · cos θ와 sin³θ + cos³θ를 구하여라.

💡 (sinθ + cosθ)² = 1 + 2sinθcosθ 이용

풀이

(sin θ + cos θ)² = sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ = 1 + 2sinθcosθ
(√2/2)² = 1/2 = 1 + 2sinθcosθ
sinθcosθ = −1/4

sin³θ + cos³θ = (sinθ+cosθ)(sin²θ−sinθcosθ+cos²θ)
= (√2/2)(1 − (−1/4))
= (√2/2)(5/4) = 5√2/8

답: sinθcosθ = −1/4, sin³θ+cos³θ = 5√2/8

 

5. 삼각함수의 그래프

📐 y = sin x, y = cos x 의 기본 성질

주기: 2π  |  최댓값: 1, 최솟값: −1  |  정의역: 실수 전체

y = sin x: 원점 (0,0) 통과  |  y = cos x: 점 (0,1) 통과

y = cos x = sin(x + π/2)   (sin 그래프를 π/2만큼 왼쪽 이동)

📐 y = a sin(bx + c) + d 의 성질

진폭: |a|   (최댓값 = d+|a|, 최솟값 = d−|a|)

주기: 2π/|b|

위상(phase): −c/b (그래프의 수평 이동)

수직 이동: d (y축 방향)

예제 4   변환된 삼각함수 그래프 분석

y = 3sin(2x − π/3) + 1 의 진폭, 주기, 최댓값, 최솟값을 구하여라.

풀이

a=3, b=2, c=π/3, d=1

진폭: |a| = 3
주기: 2π/|b| = 2π/2 = π
최댓값: d + |a| = 1 + 3 = 4
최솟값: d − |a| = 1 − 3 = −2

답: 진폭 3, 주기 π, 최댓값 4, 최솟값 −2

📐 y = tan x 의 성질

주기: π (sin, cos의 절반!)  |  점근선: x = π/2 + nπ (n은 정수)

정의역: x ≠ π/2 + nπ  |  치역: 실수 전체

원점 통과, 기함수(홀함수): tan(−x) = −tan x

 

6. 삼각함수의 대칭·이동 공식

📐 주요 변환 공식

부호 변환: sin(−θ) = −sinθ, cos(−θ) = cosθ, tan(−θ) = −tanθ

π ± θ: sin(π+θ) = −sinθ, cos(π+θ) = −cosθ, tan(π+θ) = tanθ

sin(π−θ) = sinθ, cos(π−θ) = −cosθ, tan(π−θ) = −tanθ

π/2 ± θ: sin(π/2+θ) = cosθ, cos(π/2+θ) = −sinθ

sin(π/2−θ) = cosθ, cos(π/2−θ) = sinθ

💡 변환 공식 기억 전략 — "π 배수는 부호만, π/2 배수는 sin↔cos 교환"
π+θ, π−θ: 삼각함수 이름은 그대로, 부호만 변함
π/2+θ, π/2−θ: sin ↔ cos 바뀌고, 원래 각도 위치의 부호 결정
(어떤 사분면에 속하는지 기준으로 부호 판단)

예제 5   변환 공식 활용

다음 값을 구하여라.

(1) sin(5π/6)    (2) cos(7π/4)    (3) tan(−π/3)

풀이

(1) sin(5π/6) = sin(π − π/6) = sin(π/6) = 1/2

(2) cos(7π/4) = cos(2π − π/4) = cos(π/4) = √2/2

(3) tan(−π/3) = −tan(π/3) = −√3

답: (1) 1/2   (2) √2/2   (3) −√3

📌 핵심 정리

• 호도법: 180° = π. 호의 길이 l=rθ, 부채꼴 넓이 S=(1/2)r²θ
• 삼각함수 정의: 단위원 위 점 P(cosθ, sinθ)
• sin²θ + cos²θ = 1 (피타고라스 항등식 — 암기 필수!)
• tan θ = sinθ/cosθ
• 사분면 부호: 1(+++), 2(+−−), 3(−−+), 4(−+−)
• 특수각: sin 0=0, π/6=1/2, π/4=√2/2, π/3=√3/2, π/2=1
• y=asin(bx+c)+d: 진폭|a|, 주기 2π/|b|, 최대 d+|a|, 최소 d−|a|
• tan의 주기: π (sin·cos의 절반), 점근선 x=π/2+nπ
• π±θ 변환: 이름 유지, 부호만 / π/2±θ 변환: sin↔cos 교환

▶ 2편에서는 삼각함수 방정식·부등식·덧셈정리·활용을 다룬다.