우주의 소리를 읽는 푸리에 변환(Fourier transform, FT)

 

우주의 신비는 끊임없이 우리를 매료시켜 왔습니다. 그 광대한 공간 속에서 우리는 별들의 탄생과 죽음, 행성의 움직임, 그리고 알 수 없는 신호들에 대해 궁금해합니다. 이런 신호들은 어디서 오는 걸까요? 그리고 어떻게 분석할 수 있을까요? 이번에는 우주 신호를 어떻게 해독하는지 그 비밀에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

1. 우주에서 들려오는 신호

우주에서는 다양한 형태의 신호들이 끊임없이 발생하고 있습니다. 전파, 광파, 중력파 등 여러 신호들이 지구까지 도달합니다. 이러한 신호들은 다양한 천문학적 현상을 이해하고, 우주의 구조와 진화를 연구하는 데 중요한 정보를 제공합니다. 하지만 이 신호들은 매우 복잡하고, 때로는 혼란스러울 정도로 많은 정보가 담겨 있습니다. 그렇다면, 이 복잡한 데이터를 어떻게 해석할 수 있을까요?

 

여기서 바로 푸리에 변환이 등장합니다. 푸리에 변환은 복잡한 신호를 단순하게 분석할 수 있는 수학적 방법입니다. 

 

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2. 푸리에 변환(Fourier transform, FT)

 

푸리에 변환은 프랑스 수학자이자 물리학자인 장 바티스트 조제프 푸리에(Jean-Baptiste Joseph Fourier)에 의해 처음 소개되었습니다. 그는 열 방정식을 연구하는 과정에서 임의의 주기 함수가 사인파와 코사인파의 합으로 표현될 수 있음을 발견했습니다. 이는 나중에 "푸리에 급수(Fourier Series)"로 알려지게 되었으며, 이를 확장한 것이 푸리에 변환입니다.

 

푸리에 변환은 주어진 함수(또는 신호)를 주파수 성분으로 변환하는 수학적 변환입니다. 이 과정에서 시간(또는 공간) 도메인에서 정의된 함수가 주파수 도메인에서 표현됩니다. 여기서 말하는 시간, 공간, 주파수 도메인이라는 것은 신호나 데이터를 표현하는 방법으로 각 도메인은 신호의 다른 측면을 강조하며, 다양한 신호 처리 및 분석 작업에서 적절하게 사용됩니다. 간략한 예시로 오디오 파일에서 시간의 흐름에 따라 소리의 크기(진폭), 의학에서 심전도(ECG) 신호와 같은 경우 시간의 흐름에 따른 신호를 기록한 것으로 시간 도메인에 해당합니다. 픽셀 이미지, 의료 영상에서 인체의 단면 이미지 등과 같이  공간 좌표로 표현할 수 있는 것은 공간 도메인, 신호가 어떤 주파수 성분을 포함하고 있는지 보여주는 것은 주파수 도메인이 되겠습니다.

 

시간 도메인과 같이 신호가 연속 변수인 경우 연속 푸리에 변환(Continuous Fourier Transform, CFT)을 실행하며, 다음과 같은 함수로 정의됩니다.

위와 같은 식을 통해, 시간 도메인을 주파수 도메인으로 변환할 수 있으며, 역변환도 다음과 같은 함수를 통해 가능합니다.

 

공간 도메인과 같이 신호가 이산 변수인 경우 다음과 같은 이산 푸리에 변환(Discrete Fourier Transform, DFT) 함수를 통해 표현 가능합니다.

이산 푸리에 변환의 역변환 함수는 다음과 같습니다.

 

이 글은 우주의 신호를 어떻게 포착하여 해석하는지를 소개하기 위한 글이므로 푸리에 변환의 함수에 대한 자세한 설명은 생략하도록 하겠습니다. 위 수식은 그냥 이러한 이상하게 생긴 함수가 있구나 하는 정도로만 참고해 주시면 될 것 같습니다.

 

결론적으로 말씀드리자면, 푸리에 변환은 시간 또는 공간 도메인의 신호를 주파수 도메인에서 분석할 수 있게 해주는 강력한 도구로 다양한 성질과 응용을 활용하여 통신, 물리학, 의료, 음악 분석 등 여러 분야에서 필수적인 역할로 사랑받고 있습니다.

 

 

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3. 푸리에 변환의 우주 신호 분석 활용

우주에서 오는 다양한 신호들을 분석하는 데 있어 푸리에 변환은 핵심적인 역할을 합니다. 다음은 푸리에 변환이 우주 신호 분석에 어떻게 사용되는지에 대한 구체적인 설명입니다.

 

펄서 신호 분석

펄서(Pulsar)는 고도로 자기화된 중성자별로, 매우 빠른 속도로 회전하며 주기적으로 강한 전파를 방출합니다. 이러한 신호는 매우 정밀한 주기를 가지며, 주파수 도메인에서 명확한 주파수 피크를 나타냅니다. 푸리에 변환을 사용하여 펄서 신호를 분석하면 다음과 같은 작업을 할 수 있습니다:

• 회전 주기 계산: 펄서 신호의 푸리에 변환을 통해 주파수 도메인에서 주요 주파수를 식별할 수 있으며, 이로부터 펄서의 회전 주기를 계산할 수 있습니다.
• 잡음 제거 및 신호 강화: 펄서 신호에는 우주 배경 소음이나 기타 간섭이 포함될 수 있습니다. 푸리에 변환을 통해 주파수 도메인에서 원하는 신호와 잡음을 분리하여 잡음을 제거하거나 신호를 강화할 수 있습니다.

퀘이사와 은하 신호 분석

퀘이사(Quasar)는 매우 먼 거리에서 강력한 전파를 방출하는 활성 은하핵으로, 이들의 신호는 복잡한 주파수 성분을 가질 수 있습니다. 푸리에 변환을 사용하여 퀘이사나 은하 신호를 분석하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다:

• 주파수 성분 분석: 퀘이사 신호의 주파수 스펙트럼을 분석하여 신호의 다양한 주파수 성분을 식별할 수 있습니다. 이를 통해 퀘이사의 에너지원과 그 물리적 특성을 이해할 수 있습니다.
• 적색편이 분석: 퀘이사 신호의 주파수 이동을 통해 적색편이(redshift)를 측정하고, 이를 바탕으로 퀘이사와의 거리를 계산할 수 있습니다.

우주 배경 복사 분석

우주 마이크로파 배경 복사(CMB)는 빅뱅 이후 남겨진 복사로, 우주의 초기 상태를 반영합니다. CMB 신호의 푸리에 변환을 통해 다음과 같은 분석이 가능합니다:

• 각파수 스펙트럼 분석: CMB의 온도 변동 패턴을 푸리에 변환하여 각파수(angular frequency) 도메인에서 분석할 수 있습니다. 이를 통해 우주의 밀도 변동, 물질 분포, 그리고 우주의 기하학적 구조를 이해할 수 있습니다.
• 초기 우주 상태 복원: CMB의 주파수 성분 분석은 초기 우주의 상태와 구조를 복원하는 데 중요한 정보를 제공합니다.

빠른 전파 폭발(FRB) 분석

빠른 전파 폭발(FRB)은 매우 짧은 시간 동안 강력한 전파 신호를 방출하는 현상입니다. 이 신호는 매우 짧고 일회성이기 때문에 신호 분석이 까다롭습니다. 푸리에 변환을 통해 FRB 신호를 분석하면 다음과 같은 작업이 가능합니다:

• 신호 검출: 푸리에 변환을 통해 시간 도메인에서 감지하기 어려운 짧은 신호를 주파수 도메인에서 명확하게 드러낼 수 있습니다.
• 디스퍼전 측정: 우주 공간을 통과하는 동안 FRB 신호는 주파수에 따라 시간 지연을 겪습니다. 푸리에 변환을 통해 이러한 지연을 분석하고, 이를 통해 FRB의 기원지와 신호의 전달 매체에 대한 정보를 얻을 수 있습니다.

전파 천문학에서의 활용

전파 천문학은 우주에서 방출되는 전파를 분석하여 천체의 특성을 연구하는 분야입니다. 푸리에 변환은 전파 천문학에서 필수적인 도구로 사용되며, 다음과 같은 방법으로 활용됩니다:

• 전파 간섭계 데이터 처리: 전파 간섭계(interferometer)는 여러 전파 망원경의 데이터를 결합하여 고해상도 이미지를 생성합니다. 이 과정에서 푸리에 변환을 사용하여 공간 도메인에서의 신호를 주파수 도메인에서 분석하고, 이를 다시 역푸리에 변환하여 천체의 이미지를 복원합니다.
• 신호 정리 및 주파수 필터링: 우주에서 수신되는 전파 신호는 많은 잡음과 간섭을 포함할 수 있습니다. 푸리에 변환을 통해 주파수 도메인에서 특정 주파수 성분을 필터링하여 신호를 정리할 수 있습니다.

 

 

푸리에 변환은 우리의 일상과 과학 전반에 걸쳐 광범위하게 활용되는 도구입니다. 음악, 이미지 처리, 음성 인식, 의료 영상 분석 등 복잡한 데이터를 해석하고 새로운 통찰을 얻는 데 필수적이며, 푸리에 변환 그 자체로 하나의 수학적 / 과학적 예술입니다. 과학과 기술의 진보 속에서 푸리에 변환은 언제나 그 중심에 자리하고 있으며, 앞으로도 우리의 호기심과 탐구를 이끄는 원동력이 될 것입니다.