이런 질문에 답하는 것이 경우의 수다.
세는 것 같지만 수학적 원리 없이 세면 반드시 빠뜨리거나 중복된다.
이번 1편에서는 합의 법칙 · 곱의 법칙부터 시작해서 순열 · 원순열 · 중복순열까지 예제와 함께 완벽히 정리한다.
1. 합의 법칙과 곱의 법칙
합의 법칙 — 또는(or)
두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때(배반 사건), A 또는 B가 일어나는 경우의 수는 각각의 경우의 수를 더한다.
사건 A가 일어나는 경우: m가지, 사건 B가 일어나는 경우: n가지
A와 B가 동시에 일어나지 않으면: A 또는 B = m + n가지
핵심 키워드: "또는", "이거나", "적어도 하나" → 더하기
곱의 법칙 — 그리고(and)
두 사건 A, B가 잇달아 일어날 때, A가 일어난 후 B가 일어나는 경우의 수는 곱한다.
사건 A가 일어나는 경우: m가지, 그 각각에 대해 B가 일어나는 경우: n가지
A 다음 B가 잇달아 일어나는 경우: m × n가지
핵심 키워드: "동시에", "그리고", "잇달아" → 곱하기
A시에서 B시로 가는 교통편이 버스 3개, 기차 2개 있다. B시에서 C시로 가는 교통편이 버스 4개, 비행기 1개 있다.
(1) A → B로 이동하는 방법의 수 (2) A → B → C로 이동하는 방법의 수
3 + 2 = 5가지
(2) A→B (5가지) 그리고 B→C (4+1=5가지) → 곱의 법칙
5 × 5 = 25가지
1, 2, 3, 4, 5 의 숫자 카드 중에서 2장을 순서대로 뽑아 만든 두 자리 정수가 짝수인 경우의 수를 구하여라. (중복 불가)
일의 자리가 4인 경우: 십의 자리에 4 제외 4개 → 4가지
합의 법칙: 4 + 4 = 8가지
2. 팩토리얼 (n!)
n! = n × (n−1) × (n−2) × ··· × 2 × 1 (n ≥ 1)
특별히: 0! = 1 (정의)
예) 5! = 5×4×3×2×1 = 120
n! = n × (n−1)! 이므로 큰 팩토리얼을 작게 나눌 수 있다.
예) 8!/6! = (8×7×6!) / 6! = 8×7 = 56 (공통 부분을 약분)
(1) 7!/5! (2) 10!/(3! × 7!) (3) n!/(n−2)!
(2) 10!/(3!×7!) = (10×9×8×7!)/(6×7!) = 720/6 = 120
(3) n!/(n−2)! = n×(n−1)×(n−2)!/(n−2)! = n(n−1)
3. 순열 (Permutation)
순열이란?
서로 다른 n개에서 r개를 순서를 고려하여 선택하여 배열하는 경우의 수를 순열이라 하고 nPr 로 나타낸다.
nPr = n × (n−1) × (n−2) × ··· × (n−r+1) = n! / (n−r)!
특수한 경우: nPn = n! (모두 다 배열), nP0 = 1
조건: 0 ≤ r ≤ n
(1) 6P2 (2) 8P3 (3) 5명 중 회장·부회장·총무를 뽑는 경우의 수
(2) 8P3 = 8×7×6 = 336
(3) 순서가 다르면 다른 경우 → 순열
5P3 = 5×4×3 = 60
조건이 있는 순열
A, B, C, D, E 5명이 한 줄로 설 때, A와 B가 반드시 이웃하는 경우의 수를 구하여라.
AB 내부 순서: A-B 또는 B-A → 2!= 2가지
24 × 2 = 48가지
A, B, C, D, E 5명이 한 줄로 설 때, A와 B가 반드시 이웃하지 않는 경우의 수를 구하여라.
A, B가 이웃하는 경우: 48 (예제 5)
이웃하지 않는 경우 = 120 − 48 = 72가지
[다른 풀이] A,B 제외 3명 먼저 배열: 3!=6
빈 4자리(□A□B□C□D)에서 A,B 배치: 4P2=12
6 × 12 = 72 ✓
0, 1, 2, 3, 4에서 서로 다른 3개의 숫자를 사용해 세 자리 자연수를 만드는 경우의 수를 구하여라.
십의 자리: 백의 자리에서 쓴 것 제외, 0 포함 → 4가지
일의 자리: 앞 두 자리 제외 → 3가지
4 × 4 × 3 = 48가지
4. 같은 것이 있는 순열
일부 항목이 서로 같을 때, 단순히 n!을 쓰면 중복이 생긴다. 같은 것들끼리는 서로 구별이 안 되므로 그 수의 팩토리얼로 나눠야 한다.
n개 중 같은 것이 p개, q개, r개, ...이면 (p+q+r+···=n)
경우의 수 = n! / (p! × q! × r! × ···)
(1) BANANA의 글자를 일렬로 배열하는 경우의 수
(2) SUCCESS의 글자를 일렬로 배열하는 경우의 수
6! / (3! × 2!) = 720 / (6×2) = 60
(2) SUCCESS: S3, C2, U1, E1 → 총 7글자
7! / (3! × 2!) = 5040 / 12 = 420
오른쪽으로 4칸, 위로 3칸 이동하는 최단 경로의 수를 구하여라.
총 7개 중 R 4개, U 3개가 같음:
7! / (4! × 3!) = 5040 / (24×6) = 5040/144 = 35
5. 원순열
사람들이 원형으로 배열될 때는 일렬 배열과 다르다. 회전하면 같은 배열이 되는 것들을 하나로 본다.
서로 다른 n개를 원형으로 배열하는 경우의 수:
(n−1)!
이유: 한 원소를 고정(기준)하고 나머지 n−1개를 일렬로 배열
(1) 6명이 원탁에 앉는 경우의 수
(2) 6명 중 남자 3명, 여자 3명이 원탁에 번갈아 앉는 경우의 수
(2) 번갈아 앉으려면 남·여·남·여·남·여 순으로 앉아야 함.
남자 1명 고정(기준), 나머지 남자 2명 배열: 2! = 2
여자 3명을 남자들 사이 자리에 배열: 3! = 6
2 × 6 = 12
6. 중복순열
순열은 같은 것을 두 번 선택할 수 없었다. 중복순열은 중복을 허용하여 선택하는 경우다.
서로 다른 n개에서 중복을 허용하여 r개를 선택·배열하는 경우의 수:
nr = n × n × ··· × n (r번)
기호: ₙΠᵣ = nʳ (Pi는 곱을 의미)
비밀번호: 숫자 0~9 (10개) 중 4자리, 중복 허용 → 10⁴ = 10000가지
주사위 3번 던지기: 6 × 6 × 6 = 6³ = 216가지
(1) 1, 2, 3 세 숫자에서 중복을 허용해 4개를 뽑아 배열하는 경우의 수
(2) A, B, C, D 4개 문자에서 중복 허용해 3자리 문자열을 만드는 경우의 수
(2) 4개에서 중복허용 3자리: 4³ = 64
남자 3명, 여자 2명이 한 줄로 설 때, 여자끼리는 이웃하지 않는 경우의 수를 구하여라.
□남□남□남□ → 빈칸 4개 생성
4칸 중 2칸을 골라 여자 2명 배치: 4P2 = 4×3 = 12
6 × 12 = 72가지
📌 핵심 정리
- 합의 법칙: "또는" → m+n (동시에 일어나지 않을 때)
- 곱의 법칙: "그리고·잇달아" → m×n
- 팩토리얼: n! = n×(n−1)×···×1, 0!=1
- 순열 nPr: n!/(n−r)! = n×(n−1)×···×(n−r+1). 순서 O, 중복 X
- 조건부 순열: 이웃하는 조건 → 묶음으로 처리, 이웃 안함 → 전체−이웃
- 0이 포함된 수 배열: 맨 앞자리에 0 불가 → 앞자리 먼저 결정
- 같은 것이 있는 순열: n!/(p!×q!×···)
- 경로 문제: 오른쪽 m번, 위 n번 → (m+n)!/(m!×n!)
- 원순열: (n−1)! — 하나를 고정하고 나머지 배열
- 중복순열: nʳ — 중복 허용, 순서 있게 r개 배열
▶ 2편에서는 조합·중복조합·이항정리를 다룬다.
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